ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Краткий справочник математических терминов

В этом кратком справочнике поясняются понятия и теоремы, упоминаемые в книгах и задачах, опубликованных на нашем сайте. Справочник ни в кой мере претендует на полноту — это лишь необходимый комментарий к нашим задачам. Справочник формируется в соответствии с запросами наших читателей. Если Вас интересует, что означает данный термин, или что утверждает данная теорема, заполните форму, и мы ответим на Ваш вопрос.

Запрос
От кого (e-mail):
Что Вас интересует:
Знаком "*" помечены факты, относящиеся к данному понятию, знаком "-" помечены варианты формулировки определений.

А  Б  В  Г  Д  З  И  К  Л  М  Н  О  П  Р  С  Т  У  Ф  Х  Ц  Ч  Э  

Статьи на букву 'Т':

  • Теорема

    • Брианшона:
      Диагонали описанного шестиугольника пересекаются в одной точке.
      (См. задачи 56729,58450.)

    • Гаусса
      Рассмотрим четырехугольник ABCD. Пусть u = AD2, v = BD2, w = CD2, U = BD2 + CD2 - BC2, V = AD2 + CD2 - AC2, W = AD2 + BD2 - AB2. Теорема Гаусса утверждает, что uU2 + vV2 + wW2 = UVW + 4uvw.
      (См. задачу 57697.)

    • Дезарга
      Пусть прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке O. Теорема Дезарга утверждает, что в этом случае точки пересечения (если они есть) прямых AB и A1B1, BC и B1C1, AC и A1C1 лежат на одной прямой.

      *  Теорема Дезарга проективно двойственна теореме Паппа.

      (См. задачи 56907,58434.)

    • Карно:
      Перпендикуляры, опущенные из точек  A1, B1, C1 на стороны BC, CA, AB треугольника ABC, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда A1B2 + C1A2 + B1C2 = B1A2 + A1C2 + C1B2.
      (См. задачу 57169.)

    • Киркмана:
      Пусть точки A, B, C, D, E и F лежат на одной окружности. Тогда прямые Паскаля шестиугольников ABFDCE, AEFBDC и ABDFEC пересекаются в одной точке.
      (См. задачу 58520.)

    • косинусов
      Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. То есть, если a, b, c — стороны треугольника; $ \alpha$ — угол, противолежащий стороне a, то

      a2 = b2 + c2 - 2bc cos$\displaystyle \alpha$.

    • Менелая
      Дан треугольник ABC. Некоторая прямая пересекает его стороны AB, BC и продолжение стороны AC в точках C1, A1, B1 соответственно. Тогда

      $\displaystyle {\frac{BA_{1}}{A_{1}C}}$ . $\displaystyle {\frac{CB_{1}}{B_{1}A}}$ . $\displaystyle {\frac{AC_{1}}{C_{1}B}}$ = 1.

      Теорема Менелая часто используется для доказательства того, что точки пересечения некоторых прямых лежат на одной прямой.
      (См. задачи 53857,56898.)

    • Минковского:
      Пусть начало координат является центром симметрии выпуклой фигуры площадью более 4. Тогда эта фигура содержит хотя бы одну точку с целыми координатами, отличную от начала координат.
      (См. задачу 58215.)

    • Морли
      В треугольнике ABC проведены триссектрисы (лучи, делящие углы на три равные части). Ближайшие к стороне BC триссектрисы углов B и C пересекаются в точке A1; аналогично определим точки B1 и C1 (см. рис.). Теорема Морли утверждает, что полученный треугольник A1B1C1 равносторонний.

      (См. задачу 56893.)

    • Наполеона
      Если на сторонах правильного треугольника внешним (внутренним) образом построены правильные треугольники, то их центры образуют правильный треугольник.

      *  Отметим, что разность площадей треугольников, полученных при построении правильных треугольников внешним и внутренним образом, равна площади исходного треугольника.
      (См. задачи 55746,57960.)

    • о группировке масс:
      Центр масс системы точек останется прежним, если часть точек заменить одной точкой, которая расположена в их центре масс и которой приписана масса, равная сумме масс удаленных точек.
      (См. задачу 57748.)

    • о дважды перспективных треугольниках:
      Рассмотрим два треугольника ABC и A1B1C1 таких, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке O, и прямые AB1, BC1 и CA1 пересекаются в одной точке O1. Тогда прямые AC1, BA1 и CB1 тоже пересекаются в одной точке O2
      (См. задачу 58437.)

    • о полном четырехстороннике:
      Рассмотрим четыре точки A, B,C, D. Пусть P, Q, R — точки пересечения прямых AB и CD, AD и BC, AC и BD соответственно; K и L — точки пересечения прямой QR с прямыми AB и CD соответственно. Тогда (QRKL) = - 1, где (QRKL) — двойное отношение точек Q, R, K, L.
      (См. задачу 58437.)

    • о трижды перспективных треугольниках:
      Рассмотрим два треугольника ABC и A1B1C1 таких, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке O, прямые AA1, BC1 и CB1 пересекаются в одной точке O1 и прямые AC1, BB1 и CA1 пересекаются в одной точке O2. Тогда прямые AB1, BA1 и CC1 также пересекаются в одной точке O3.
      (См. задачу 58438.)

    • Паппа
      Рассмотрим две прямые, на одной из которых взяты точки A1, B1 и C1, а на другой — точки A2, B2 и C2. Пусть прямые A1B2 и A2B1B1C2 и B2C1C1A2 и C2A1 пересекаются в точках C, A и B соответственно. Теорема Паппа утверждает, что тогда точки A, B и C лежат на одной прямой.

      *  Теорема Паппа проективно двойственна теореме Дезарга.
      (См. задачи 58435,58456.)

    • Паскаля
      Точки пересечения противоположных сторон (если эти стороны не параллельны) вписанного шестиугольника лежат на одной прямой.

      *  Классическую формулировку теоремы Паскаля можно обобщить двумя способами. Во-первых, теорема будет верна не только для шестиугольника, но для произольной (возможно, самопересекающейся) шестизвенной ломаной с вершинами на окружности.

      Во-вторых, теорема останется верна и если вместо окружности рассмотреть произвольную конику на плоскости.
      (См. задачи 57105,58451,58519.)

    • Паша
      Если прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекает одну из его сторон, то она пересекает ровно одну из двух других его сторон.

    • Пифагора:

      Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.

      • обобщенная:
        Если CD — высота прямоугольного треугольника ABC, проведённая из вершины C прямого угла, то треугольники ABC, CBD и ACD — подобны. Если при этом l, l1 и l2 — соответствующие отрезки этих треугольников, то l2 = l12 + l22.

      • обратная теореме Пифагора:
        Если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный. (

    • Помпею
      Рассмотрим точку X и правильный треугольник ABC. Из отрезков XA, XB и XC можно составить треугольник, причем этот треугольник вырожденный тогда и только тогда, когда точка X лежит на описанной окружности треугольника ABC.
      (См. задачу 57941.)

    • Птолемея
      Для вписанного четырехугольника ABCD верно равенство: AB . CD + AD . BC = AC . BD.

      • обобщенная
        Рассмотрим окружности  $ \alpha$,$ \beta$,$ \gamma$ и $ \delta$, касающиеся данной окружности в вершинах A, B, C и D выпуклого четырехугольника ABCD. Пусть  T$\scriptstyle \alpha$$\scriptstyle \beta$ — длина общей касательной к окружностям $ \alpha$ и $ \beta$ (внешней, если оба касания внутренние или внешние одновременно, и внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее);  T$\scriptstyle \beta$$\scriptstyle \gamma$, T$\scriptstyle \gamma$$\scriptstyle \delta$ и т. д. определяются аналогично. Тогда обобщенная теорема Птолемея утверждает, что  T$\scriptstyle \alpha$$\scriptstyle \beta$T$\scriptstyle \gamma$$\scriptstyle \delta$ + T$\scriptstyle \beta$$\scriptstyle \gamma$T$\scriptstyle \delta$$\scriptstyle \alpha$ = T$\scriptstyle \alpha$$\scriptstyle \gamma$T$\scriptstyle \beta$$\scriptstyle \delta$.
        (См. задачу 57055.)


      (См. задачу 57045.)

    • Рамсея:
      Пусть p, q и r — натуральные числа, причем p, q$ \ge$r. Тогда существует число N = N(p, q, r), обладающее следующим свойством: если все r-элементные подмножества N-элементного множества S произвольным образом разбиты на два непересекающихся семейства $ \alpha$ и $ \beta$, то либо существует p-элементное подмножество множества S, все r-элементные подмножества которого содержатся в $ \alpha$, либо существует q-элементное подмножество, все r-элементные подмножества которого содержатся в $ \beta$.
      (См. задачу 58117.)

    • Сильвестра
      На плоскости дано конечное число точек, причем такое, что любая прямая, проходящая через две из данных точек, содержит еще одну данную точку. Тогда все данные точки лежат на одной прямой.
      (См. задачу 58059.)

    • синусов
      Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих им углов. Более того, если a, b, c — стороны треугольника; $ \alpha$, $ \beta$, $ \gamma$ — противолежащие им углы, то

      $\displaystyle {\frac{a}{\sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{b}{\sin \beta}}$ = $\displaystyle {\frac{c}{\sin \gamma}}$=2R,
      где R — радиус описанной окружности данного треугольника. Последнее равенство иногда называют обобщенной теоремой синусов.

    • Стюарта
      Если точка D расположена на стороне BC треугольника ABC, то AB2 . DC + AC2 . BD - AD2 . BC = BC . DC . BD.
      (См. задачу 54717.)

    • Тебо:
      На стороне BC треугольника ABC взята точка D. Окружность S1 касается отрезков BE и EA и описанной окружности, окружность S2 касается отрезков CE и EA и описанной окружности. Пусть I, I1, I2 и r, r1, r2 -- центры и радиусы вписанной окружности и окружностей S1, S2; $ \varphi$ = $ \angle$ADB. Тогда точка I лежит на отрезке I1I2, причём I1I : II2 = tg2$ {\frac{\varphi }{2}}$, причем r = r1cos2$ {\frac{\varphi }{2}}$ + r2sin2$ {\frac{\varphi }{2}}$ (Тебо).
      (См. задачу 56705.)

    • Фалеса:
      Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

    • Фейербаха:
      Окружность, проходящая через середины сторон (окружность девяти точек) треугольника, касается его вписанной и трех вневписанных окружностей
      (См. задачу 58348.)

    • Ферма

      • великая
        Великая (или последняя) теорема Ферма утверждает, что уравнение xn+yn=zn не имеет отличных от нуля решений в целых числах при n>2 (n— натуральное число). При n=2 уравнение имеет бесконечное количество целочисленных решений (см. "пифагоров треугольник").

        Великая теорема Ферма была сформулирована Пьером Ферма (1601—1665) на полях книги "Арифметика" Диофанта Александрийского. Сам Ферма привел доказательство своей теоремы (с помощью метода спуска) лишь для n=4. Для n=3 теорема была доказана Леонардом Эйлером в 1768 г. В дальнейшем теорема Ферма была доказана еще для ряда частных значений n. Полное доказательство Великой Теоремы Ферма было получено лишь в 1994 году английским математиком Эндрю Уайлсом.

      • малая
        Малая теорема Ферма утверждает, что если p— простое число, и a— целое число, не кратное p, то ap-1-1 делится на p. В терминах сравнений это можно сформулировать так: ap-1≡1 (mod p).

    • Хелли
      Если на плоскости имется n выпуклых фигур (n 3), причем любые три из них имеют общую точку, то и все n данных фигур имеют общую точку.
      (См. задачу 58141.)

    • Шаля
      Теорема Шаля утверждает, что любое движение плоскости является одним из следующего списка: параллельный перенос, поворот, скользящая симметрия (включая осевую). Теорема Шаля дает полную классификацию всех движений плоскости.

      *  Часто также бывает удобно воспользоваться тем фактом, что любое движение плоскости есть композиция некоторого количества осевых симметрий (всегда можно обойтись не более, чем тремя).

      *  Аналогичная теорема классифицирует все движения трехмерного пространства: всякое сохраняющее ориентацию движение пространства является винтовым движением (то есть композицией поворота вокруг определенной оси с параллельным переносом вдоль той же оси, причем как угол, так и вектор могут быть и нулевыми). Движение, меняющее ориентацию, является композицией симметрии относительно плоскости и винтового движения.
      (См. задачи 57904,57905.)

    • Чевы:
      Пусть точки A1, B1 и C1 принадлежат соответственно сторонам BC, AC и AB треугольника ABC. Отрезки AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

      $\displaystyle {\frac{AB_{1}}{B_{1}C}}$ . $\displaystyle {\frac{CA_{1}}{A_{1}B}}$ . $\displaystyle {\frac{BC_{1}}{C_{1}A}}$ = 1.

      Теорему Чевы можно обобщить для случая, когда точки A1, B1 и C1 лежат не обязательно на сторонах треугольника, а лишь на прямых BC, AC и AB. Пусть k из этих точек лежит на сторонах треугольника и 3 - k — на продолжениях сторон. Пусть

      R = $\displaystyle {\frac{BA_1}{CA_1}}$ . $\displaystyle {\frac{CB_1}{AB_1}}$ . $\displaystyle {\frac{AC_1}{BC_1}}$.

      Тогда прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда R = 1 и k нечетно.
      (См. задачи 53856,56914.)

      Теорема Чевы часто используется для доказательства того, что некоторые прямые пересекаются в одной точке.

  • Точка

    • Жергонна
      Точкой Жергонна называется точка пересечения прямых, соединяющих вершины треугольника с точками касания вписанной окружности. (См. задачу 53788.)

    • Лемуана
      Точкой Лемуана треугольника называется точка пересечения его симедиан.

    • Микеля
      Пусть четыре прямые расположены так ("в общем положении"), что при их пересечении образуется четыре треугольника. Тогда описанные окружности этих треугольников имеют общую точку, которая называется (точкой Микеля) этой конфигурации прямых.

      *  Отметим, что центры описанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности, проходящей через точку Микеля.
      (Cм. задачу 56628.)

    • Нагеля
      Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания вневписанных окружностей со сторонами, пересекаются в одной точке, которая называется (точкой Нагеля) данного треугольника.
      (Cм. задачу 56916.)

    • Торричелли
      В литературе встречается три неэквивалентных определения точки Торичелли:

      —  Построим на сторонах треугольника ABC внешним образом правильные треугольники ABC1, AB1C и A1BC. Тогда прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Эта точка называется точкой Торричелли данного треугольника. (Cм. задачу 55735.)
      См. также "изогонический центр".

      —  Точкой Торричелли называется точка, из которой все стороны треугольника видны под одинаковым углом (равным 120o). (Cм. задачу 55385.)

      —  Точка, лежащая внутри треугольника, для которой сумма расстояний от неё до вершин треугольника минимальна, называется точкой Торричелли. (Cм. задачу 55737.)

      В случае треугольника, наибольший угол которого меньше 120o, все три определения задают одну и ту же точку. Если один из углов треугольника больше 120o, то точка, сумма расстояний от которой до вершин треугольника минимальна, совпадает с вершиной этого угла и отличается от точки, заданной первым определением. Точки, заданной вторым определением, в этом случае нет.

  • Точки

    • изогонально сопряженные
      Пусть на сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1, причем прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке P. Тогда прямые AA2, BB2 и CC2, симметричные этим прямым относительно соответствующих биссектрис, также пересекаются в одной точке Q.

      В этом случае точки P и Q называются изогонально сопряженными относительно треугольника ABC.
      ((См. задачу 56924.)

    • изотомически сопряженные
      Пусть прямые AP, BP и CP пересекают прямые BC, CA и AB в точках A1, B1 и C1 соответственно, а точки A2, B2 и C2 выбраны на прямых BC, CA и AB так, что  $ \overline{BA_2}$ : $ \overline{A_2C}$ = $ \overline{A_1C}$ : $ \overline{BA_1}$ $ \overline{CB_2}$ : $ \overline{B_2A}$ = $ \overline{B_1A}$ : $ \overline{CB_1}$ и  $ \overline{AC_2}$ : $ \overline{C_2B}$ = $ \overline{C_1B}$ : $ \overline{AC_1}$. Тогда прямые AA2, BB2 и CC2 либо параллельны, либо также пересекаются в одной точке Q.

      В последнем случае точки P и Q называют изотомически сопряженнымиотносительно треугольника ABC.
      (См. задачу 56922.)

    • постоянные подобных фигур
      Пусть l1, l2 и l3 — соответственные прямые подобных фигур F1, F2 и F3, пересекающиеся в точке W. Пусть J1, J2 и J3 — точки пересечения прямых l1, l2 и l3 с окружностью подобия, отличные от точки W. Оказывается, что эти точки зависят только от фигур F1, F2 и F3 и не зависят от выбора прямых l1, l2 и l3. Точки J1, J2 и J3 и называют постоянными точками подобных фигур F1, F2 и F3, а треугольник J1J2J3 называют постоянным треугольником подобных фигур F1, F2 и F3.
      (См. задачу 58033.)

    • соответственные
      Точки A1 и A2 называют соответственными точками подобных фигур F1 и F2, если при преобразовании подобия, переводящем F1 в F2, точка A1 переходит в A2. Аналогично определяются соответственные прямые и отрезки.
      См. также "преобразование подобия".

  • Трапеция
    Трапецией называется четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны. Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми сторонами. Параллелограмм не является трапецией по определению.

    Замечательное свойство трапеции: Точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований трапеции лежат на одной прямой. (См. задачу 53749.)

    • равнобокая (равнобедренная, равнобочная)
      Трапеция с равными боковыми сторонами называется равнобокой.

      Равнобокая трапеция обладает следующими свойствами:

      *  Углы при основании равнобокой трапеции равны. (См. задачу 54149.)

      *  Диагонали равнобокой трапеции равны и образуют равные углы с основаниями.

      *  Основание высоты равнобокой трапеции, опущенной из вершины меньшего основания, делит большее основание на отрезки, один из которых равен полусумме оснований, а другой — полуразности. (См. задачу 54158.)

      *  Около равнобокой трапеции можно описать окружность. (См. задачу 55556.)

      Имеют место следующие признаки равнобокой трапеции:

      *  Если углы при основании трапеции равны, то трапеция равнобокая. (См. задачу 54150.)

      *  Если диагонали трапеции равны или образуют равные углы с одним из оснований, то трапеция равнобокая.

      *  Если около трапеции можно описать окружность, то трапеция равнобокая. (См. задачу 55556.)

  • Треугольники

    • подобные
      Треугольники называются подобными если они переводятся друг в друга преобразованием подобия. Элементы данных треугольников, переходящие друг в друга при этом преобразовании, называются соответствующими.

      *  У подобных треугольников равны соответствующие углы, а соответствующие стороны пропорциональны.

      Приведем основные признаки подобия треугольников:

      *  Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

      *  Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

      *  Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого, то треугольники подобны.

      *  Для подобия прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было хотя бы по одному равному острому углу.

    • равные
      Треугольники называются равными, если существует движение плоскости, переводящее один треугольник в другой. Элементы равных треугольников (например, вершины, стороны, медианы и т.д.), переходящие друг в друга при данном движении, называются соответствующими друг другу или соответственными.
      Запись вида $ \Delta$ABC = $ \Delta$A1B1C1 означает, что треугольники ABC и A1B1C1 равны, притом вершине A соответствует вершина A1, вершине B — вершина B1, а вершине C — вершина C1.

      Равенство $ \Delta$ABC = $ \Delta$A1B1C1 верно тогда и только тогда, когда

      AB = A1B1BC = B1C1AC = A1C1,

      $\displaystyle \angle$ABC = $\displaystyle \angle$A1B1C1$\displaystyle \angle$ACB = $\displaystyle \angle$A1C1B1$\displaystyle \angle$BAC = $\displaystyle \angle$B1A1C1.

      Более коротко, но менее корректно, определение равенства треугольников можно сформулировать так:
      Треугольники ABC и A1B1C1 называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны (см. равенства выше).

      * Какой бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой (то есть для любого треугольника ABC и данной полупрямой a с началом в точке A1 существует равный ему треугольник A1B1C1, вершина B1 которого лежит на полупрямой a, а вершина C1 расположена в заданной полуплоскости относительно полупрямой a).

      Имеют место следующие признаки равенства треугольников:

      • Первый признак равенства треугольников (признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними):
        Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

      • Второй признак равенства треугольников (признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам):
        Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника соответственно равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

      • Третий признак равенства треугольников (признак равенства треугольников по трём сторонам):
        Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

    • ортологические
      Треугольники ABC и A1B1C1, для которых перпендикуляры, опущенные из точек A, B, C на прямые B1C1, C1A1, A1B1 пересекаются в одной точке, называются ортологическими. В этом случае и перпендикуляры, опущенные из точек A1, B1, C1 на прямые BC, CA, AB также пересекаются в одной точке.
      (См. задачу 56955.)

  • Триссектриса
    Триссектриссой угла называется луч, проходящий внутри угла и делящий его на два угла, градусные меры которых относятся в отношении 1 : 2. У каждого угла есть ровно две триссектрисы, которые делят его на три равные части.

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы, Московского института открытого образования и ФЦП "Кадры" .