ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Медников Л.

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



Задача 109504

Темы:   [ Теория игр (прочее) ]
[ Полуинварианты ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Капитан Врунгель в своей каюте разложил перетасованную колоду из 52 карт по кругу, оставив одно место свободным. Матрос Фукс с палубы, не отходя от штурвала и не зная начальной раскладки, называет карту. Если эта карта лежит рядом со свободным местом, Врунгель ее туда передвигает, не сообщая Фуксу. Иначе ничего не происходит. Потом Фукс называет еще одну карту, и так сколько угодно раз, пока сам не скажет "стоп". Может ли Фукс добиться того, чтобы после "стопа" каждая карта наверняка оказалась не там, где была вначале?
Прислать комментарий     Решение


Задача 73751

Темы:   [ Индукция (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Теория графов (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

n человек не знакомы между собой. Нужно так познакомить друг с другом некоторых из них, чтобы ни у каких трёх людей не оказалось одинакового числа знакомых. Докажите, что это можно сделать при любом n.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109664

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Касающиеся окружности ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Индукция в геометрии ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Внутри параболы  y = x2  расположены несовпадающие окружности σ1, σ2, σ3, ... так, что при каждом n > 1 окружность σn касается ветвей параболы и внешним образом окружности σn–1 (см. рис.). Найдите радиус окружности σ1998, если известно, что диаметр σ1 равен 1 и она касается параболы в ее вершине.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109897

Темы:   [ Неравенство Коши ]
[ Замена переменных ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Докажите, что если  0 < a, b < 1,  то  

.
Прислать комментарий     Решение

Задача 108238

Темы:   [ Перегруппировка площадей ]
[ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
[ Площадь параллелограмма ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Дан треугольник A0B0C0 . На отрезке A0B0 отмечены точки A1 , A2, ,An , а на отрезке B0C0 – точки C1 , C2, , Cn , причём все отрезки AiCi+1 ( i=0,1, n-1 ), параллельны между собой и все отрезки CiAi+1 ( i=0,1, n-1 ) – тоже. Отрезки C0A1 , A1C2 , A2C1 и C1A0 ограничивают некоторый параллелограмм, отрезки C1A2 , A2C3 , A3C2 и C2A1 – тоже и т.д. Докажите, что сумма площадей всех n-1 получившихся параллелограммов меньше половины площади треугольника A0B0C0 .
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .