ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Фольклор

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 364]      



Задача 97921

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Тождественные преобразования ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9

Автор: Фольклор

Докажите, что при любом a имеет место неравенство:   3(1 + a² + a4) ≥ (1 + a + a²)².

Прислать комментарий     Решение

Задача 97934

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ]
[ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9,10

Автор: Фольклор

p(x) – многочлен с целыми коэффициентами. Известно, что для некоторых целых a и b выполняется равенство:  p(a) – p(b) = 1.
Докажите, что a и b различаются на 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 97979

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 2+
Классы: 7,8,9

Автор: Фольклор

Докажите, что из любых семи натуральных чисел (не обязательно идущих подряд) можно выбрать три числа, сумма которых делится на 3.

Прислать комментарий     Решение

Задача 97989

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Остовы многогранных фигур ]
[ Многогранники и многоугольники (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9,10

Автор: Фольклор

Доказать, что в вершинах многогранника можно расставить натуральные числа так, что в каждых двух вершинах, соединённых ребром, стоят числа не взаимно простые, а в каждых двух вершинах, не соединённых ребром, взаимно простые.
Примечание: простых чисел бесконечно много.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98031

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
[ Сочетания и размещения ]
Сложность: 2+
Классы: 7,8,9

Автор: Фольклор

10 друзей послали друг другу праздничные открытки, так что каждый послал пять открыток.
Докажите, что найдутся двое, которые послали открытки друг другу.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 364]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .