ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Курляндчик Л.Д.

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 12]      



Задача 98240

Тема:   [ Разложение на множители ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Пусть a, b, c, d – такие вещественные числа, что  a3 + b3 + c3 + d3 = a + b + c + d = 0.
Докажите, что сумма каких-то двух из этих чисел равна нулю.

 
Прислать комментарий     Решение

Задача 98260

Темы:   [ Принцип Дирихле (углы и длины) ]
[ Методы математического анализа (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

На отрезке  [0, 1]  числовой оси расположены четыре точки: a, b, c, d.
Докажите, что найдётcя такая точка x, принадлежащая  [0, 1],  что  

 
Прислать комментарий     Решение

Задача 98276

Темы:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Последовательность определяется так: первые её члены – 1, 2, 3, 4, 5. Далее каждый следующий (начиная с 6-го) равен произведению всех предыдущих членов минус 1. Докажите, что сумма квадратов первых 70 членов последовательности равна их произведению.

 
Прислать комментарий     Решение

Задача 97868

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Доказательство от противного ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10

В таблицу 10×10 нужно записать в каком-то порядке цифры  0, 1, 2, 3, ..., 9  так, что каждая цифра встречалась бы 10 раз.
   а) Можно ли это сделать так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце встречалось не более четырёх различных цифр?
   б) Докажите, что найдётся строка или столбец, в которой (в котором) встречается не меньше четырёх различных чисел.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98028

Темы:   [ Уравнения в целых числах ]
[ Подсчет двумя способами ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Дано натуральное число n. Рассматриваются такие тройки различных натуральных чисел  (a, b, c),  что  a + b + c = n.  Возьмём наибольшую возможную такую систему троек, что никакие две тройки системы не имеют общих элементов. Число троек в этой системе обозначим через K(n). Докажите, что
   а)  K(n) > n/6 – 1;
   б)  K(n) < 2n/9.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 12]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .