Страница:
<< 1 2 3
4 5 >> [Всего задач: 25]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Выпуклый n-угольник разрезан непересекающимися диагоналями на треугольники. Разрешается проделывать следующее преобразование (перестройку): взяв пару треугольников ABD и BCD с общей стороной, заменить их на треугольники ABC и ACD. Пусть P(n) – наименьшее число перестроек, за которое можно перевести каждое разбиение в любое. Докажите, что
а) P(n) ≥ n – 3;
б) P(n) ≤ 2n – 7;
в) P(n) ≤ 2n – 10 при n ≥ 13.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
На плоскости дано N прямых (N > 1), никакие три из которых не пересекаются в одной точке и никакие две не параллельны. Докажите, что в частях, на которые эти прямые разбивают плоскость, можно расставить ненулевые целые числа, по модулю не превосходящие N, так, что суммы чисел по любую сторону от любой из данных прямых равны нулю.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
|
Рассматривается набор гирь, каждая из которых весит целое число граммов,
а общий вес всех гирь равен 200 граммов. Такой набор называется правильным,
если любое тело, имеющее вес, выраженный целым числом граммов от 1 до 200,
может быть уравновешено некоторым количеством гирь набора, и притом
единственным образом (тело кладётся на одну чашку весов, гири - на другую; два
способа уравновешивания, различающиеся лишь заменой некоторых гирь на другие
того же веса, считаются одинаковыми).
а) Приведите пример правильного набора, в котором не все гири по одному грамму.
б) Сколько существует различных правильных наборов?
(Два набора различны, если некоторая гиря участвует в этих наборах не одинаковое число раз.)
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
|
Даны 103 монеты одинакового внешнего вида. Известно, что две из них –
фальшивые, что все настоящие одинакового веса, что фальшивые – тоже одинакового веса, отличающегося от веса настоящих монет. Но неизвестно, в какую сторону отличаются веса фальшивых монет от настоящих. Как можно это узнать с помощью трёх взвешиваний на двухчашечных весах без гирь? (Отделить фальшивые монеты не требуется.)
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
|
Рассматривается набор гирь, каждая из которых весит целое число граммов, а
общий вес всех гирь равен 500 граммов. Такой набор называется правильным, если любое тело, имеющее вес, выраженный целым числом граммов от 1 до 500, может быть уравновешено некоторым количеством гирь набора, и притом единственным образом
(тело кладётся на одну чашку весов, гири – на другую; два способа уравновешивания, различающиеся лишь заменой некоторых гирь на другие того же веса, считаются одинаковыми).
а) Приведите пример правильного набора, в котором не все гири по одному грамму.
б) Сколько существует различных правильных наборов?
(Два набора различны, если некоторая гиря участвует в этих наборах не одинаковое число раз.)
Страница:
<< 1 2 3
4 5 >> [Всего задач: 25]
Все авторы
>>
Фомин Д. 
