ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Гашков С.Б.

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 11]      



Задача 107990

Темы:   [ Обход графов ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Дед барона К.Ф.И. фон Мюнхгаузена построил квадратный замок, разделил его на 9 квадратных залов и в центральном разместил арсенал. Отец барона разделил каждый из восьми оставшихся залов на 9 равных квадратных холлов и во всех центральных холлах устроил зимние сады. Сам барон разделил каждый из 64 свободных холлов на 9 равных квадратных комнат и в каждой из центральных комнат устроил бассейн, а остальные сделал жилыми. Барон хвастается, что ему удалось обойти все жилые комнаты, побывав в каждой по одному разу, и вернуться в исходную (в каждой стене между двумя соседними жилыми комнатами проделана дверь). Могут ли слова барона быть правдой?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65690

Темы:   [ Правильные многоугольники ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
[ Четность и нечетность ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Можно ли отметить k вершин правильного 14-угольника так, что каждый четырёхугольник с вершинами в отмеченных точках, имеющий две параллельные стороны, является прямоугольником, если:  а) k = 6;   б) k ≥ 7?

Прислать комментарий     Решение

Задача 79466

Темы:   [ Неравенства с площадями ]
[ Свойства сечений ]
[ Перегруппировка площадей ]
[ Касательные к сферам ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Треугольное сечение куба касается вписанного в куб шара. Докажите, что площадь этого сечения меньше половины площади грани куба.

Прислать комментарий     Решение

Задача 79458

Темы:   [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

По кругу расставлено не менее четырёх неотрицательных чисел, в сумме равных единице.
Докажите, что сумма всех попарных произведений соседних чисел не больше ¼.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64730

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11

Докажите, что для любого натурального n найдётся натуральное число, десятичная запись квадрата которого начинается n единицами, а заканчивается какой-то комбинацией из n единиц и двоек.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 11]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .