ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Ионин Ю.И.

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 10]      



Задача 73749

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Разложение на множители ]
[ Итерации ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Ионин Ю.И.

Квадратный трёхчлен  f(x) = ax2 + bx + c  таков, что уравнение  f(x) = x  не имеет вещественных корней. Докажите, что уравнение
f(f(x)) = x  также не имеет вещественных корней.

Прислать комментарий     Решение

Задача 79240

Темы:   [ Четность и нечетность ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Метод координат на плоскости ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Автор: Ионин Ю.И.

В трёх вершинах квадрата находятся три кузнечика. Они играют в чехарду, т.е. прыгают друг через друга. При этом, если кузнечик A прыгает через кузнечика B, то после прыжка он оказывается от B на том же расстоянии, что и до прыжка, и, естественно, на той же прямой. Может ли один из них попасть в четвёртую вершину квадрата?
Прислать комментарий     Решение


Задача 73607

Темы:   [ Иррациональные уравнения ]
[ Симметрические системы. Инволютивные преобразования ]
[ Методы решения задач с параметром ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Ионин Ю.И.

Пусть p – произвольное вещественное число. Найдите все такие x, что сумма кубических корней из чисел  1 – x  и  1 + x  равна p.

Прислать комментарий     Решение

Задача 56790

Темы:   [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
[ Вписанные и описанные многоугольники ]
[ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]
[ Периметр треугольника ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Ионин Ю.И.

а) Докажите, что любая прямая, делящая пополам площадь и периметр треугольника, проходит через центр вписанной окружности.
б) Докажите аналогичное утверждение для любого описанного многоугольника.

Прислать комментарий     Решение

Задача 73660

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Последовательности (прочее) ]
[ Перебор случаев ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Автор: Ионин Ю.И.

а) Существует ли бесконечная последовательность натуральных чисел, обладающая следующим свойством: ни одно из этих чисел не делится на другое,
но среди каждых трёх чисел можно выбрать два, сумма которых делится на третье?

б) Если нет, то как много чисел может быть в наборе, обладающем таким свойством?

в) Решите ту же задачу при дополнительном условии: в набор разрешено включать только нечётные числа.

Вот пример такого набора из четырёх чисел: 3, 5, 7, 107. Здесь среди трёх чисел 3, 5, 7 сумма  5 + 7  делится на 3; в тройке 5, 7, 107 сумма  107 + 5  делится на 7;
в тройке 3, 7, 107 сумма  7 + 107  делится на 3; наконец, в тройке 3, 5, 107 сумма  3 + 107  делится на 5.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 10]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .