ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Дольников В.Л.

Владимир Леонидович Дольников - профессор Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова, доктор физико-математических наук, член жюри Всероссийской олимпиады школьников по математике

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 38]      



Задача 109782

Темы:   [ Деревья ]
[ Полуинварианты ]
[ Перестройки ]
[ Неравенство Коши ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Дано дерево с n вершинами,  n ≥ 2.  В его вершинах расставлены числа x1, x2, xn, а на каждом ребре записано произведение чисел, стоящих в концах этого ребра. Обозначим через S сумму чисел на всех рёбрах. Докажите, что  

Прислать комментарий     Решение

Задача 109800

Темы:   [ Связность и разложение на связные компоненты ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Перебор случаев ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

В стране несколько городов, некоторые пары городов соединены двусторонними беспосадочными авиалиниями, принадлежащими k авиакомпаниям. Известно, что каждые две линии одной авиакомпании имеют общий конец. Докажите, что все города можно разбить на  k + 2  группы так, что никакие два города из одной группы не соединены авиалинией.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109944

Темы:   [ Системы точек ]
[ Экстремальные свойства окружности и криволинейных фигур ]
[ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
[ Теорема косинусов ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Докажите, что из любого конечного множества точек на плоскости можно так удалить одну точку, что оставшееся множество можно разбить на две части меньшего диаметра. (Диаметр – это максимальное расстояние между точками множества.)
Прислать комментарий     Решение


Задача 110038

Темы:   [ Связность и разложение на связные компоненты ]
[ Обход графов ]
[ Вспомогательная раскраска (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

В стране 2000 городов, некоторые пары городов соединены дорогами. Известно, что через любой город проходит не более N различных несамопересекающихся циклических маршрутов нечётной длины. Докажите, что страну можно разделить на  2N + 2  республики так, чтобы никакие два города из одной республики не были соединены дорогой.

Прислать комментарий     Решение

Задача 115409

Темы:   [ Обход графов ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Перестановки и подстановки (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

  В королевстве N городов, некоторые пары которых соединены непересекающимися дорогами с двусторонним движением (города из такой пары называются соседними). При этом известно, что из каждого города можно доехать до любого другого, но невозможно, выехав из некоторого города и двигаясь по различным дорогам, вернуться в исходный город.
  Однажды Король провел такую реформу: каждый из N мэров городов стал снова мэром одного из N городов, но, возможно, не того города, в котором он работал до реформы. Оказалось, что каждые два мэра, работавшие в соседних городах до реформы, оказались в соседних городах и после реформы. Докажите, что либо найдётся город, в котором мэр после реформы не поменялся, либо найдётся пара соседних городов, обменявшихся мэрами.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 38]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .