ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Дольников В.Л.

Владимир Леонидович Дольников - профессор Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова, доктор физико-математических наук, член жюри Всероссийской олимпиады школьников по математике

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 38]      



Задача 116640

Темы:   [ Теория графов (прочее) ]
[ Вспомогательная раскраска (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Назовём компанию k-неразбиваемой, если при любом разбиении её на k групп в одной из групп найдутся два знакомых человека. Дана 3-неразбиваемая компания, в которой нет четырёх попарно знакомых человек. Докажите, что её можно разделить на две компании, одна из которых 2-неразбиваемая, а другая – 1-неразбиваемая.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109698

Темы:   [ Связность и разложение на связные компоненты ]
[ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10

В некоторой группе из 12 человек среди каждых девяти найдутся пять попарно знакомых. Докажите, что в этой группе найдутся шесть попарно знакомых.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109709

Темы:   [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ]
[ Наименьшая или наибольшая площадь (объем) ]
[ Пятиугольники ]
[ Теорема Пика ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

На координатной плоскости дан выпуклый пятиугольник ABCDE с вершинами в целых точках. Докажите, что внутри или на границе пятиугольника A1B1C1D1E1 (см. рис.) есть хотя бы одна целая точка.


Прислать комментарий     Решение

Задача 109765

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Наименьшая или наибольшая площадь (объем) ]
[ Раскраски ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10

На плоскости взято конечное число красных и синих прямых, среди которых нет параллельных, так, что через каждую точку пересечения одноцветных прямых проходит прямая другого цвета. Докажите, что все прямые проходят через одну точку.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109859

Темы:   [ Индукция в геометрии ]
[ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Комбинаторная геометрия (прочее) ]
[ Объединение, пересечение и разность множеств ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

На плоскости рассматривается конечное множество равных, параллельно расположенных квадратов, причем среди любых k+1 квадратов найдутся два пересекающихся. Докажите, что это множество можно разбить не более чем на 2k-1 непустых подмножеств так, что в каждом подмножестве все квадраты будут иметь общую точку.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 38]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .