ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Дольников В.Л.

Владимир Леонидович Дольников - профессор Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова, доктор физико-математических наук, член жюри Всероссийской олимпиады школьников по математике

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 38]      



Задача 110154

Темы:   [ Системы точек ]
[ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ]
[ Наименьший или наибольший угол ]
[ Метод координат на плоскости ]
[ Пересекающиеся окружности ]
[ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

На плоскости отмечено N 3 различных точек. Известно, что среди попарных расстояний между отмеченными точками встречаются не более n различных расстояний. Докажите, что N (n+1)2 .
Прислать комментарий     Решение


Задача 110030

Темы:   [ Связность и разложение на связные компоненты ]
[ Вспомогательная раскраска (прочее) ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10

В стране 2000 городов, некоторые пары городов соединены дорогами. Известно, что через любой город проходит не более N различных несамопересекающихся циклических маршрутов нечётной длины. Докажите, что страну можно разделить на  N + 2  республики так, чтобы никакие два города из одной республики не были соединены дорогой.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109688

Темы:   [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ]
[ Выпуклые многоугольники ]
[ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11

Докажите, что три выпуклых многоугольника на плоскости нельзя пересечь одной прямой тогда и только тогда, когда каждый многоугольник можно отделить от двух других прямой (т.е. существует прямая такая, что этот многоугольник и два остальных лежат по ее разные стороны).
Прислать комментарий     Решение


Задача 109710

Темы:   [ Геометрические интерпретации в алгебре ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Индукция в геометрии ]
[ Системы отрезков, прямых и окружностей ]
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Дана последовательность неотрицательных чисел a1 , a2 , an . Для любого k от 1 до n обозначим через mk величину

l=1,2,..,k .

Докажите, что при любом α>0 число тех k , для которых mk, меньше, чем a1+a2+...+an α.
Прислать комментарий     Решение

Задача 109722

Темы:   [ Индукция в геометрии ]
[ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Раскраски ]
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11

На прямоугольном столе лежат равные картонные квадраты n различных цветов со сторонами, параллельными сторонам стола. Если рассмотреть любые n квадратов различных цветов, то какие-нибудь два из них можно прибить к столу одним гвоздем. Докажите, что все квадраты некоторого цвета можно прибить к столу 2n-2 гвоздями.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 38]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .