ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Дольников В.Л.

Владимир Леонидович Дольников - профессор Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова, доктор физико-математических наук, член жюри Всероссийской олимпиады школьников по математике

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 38]      



Задача 109889

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Инварианты ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

В каждой клетке квадратной таблицы размером n×n клеток  (n ≥ 3)  записано число 1 или –1. Если взять любые две строки, перемножить числа, стоящие в них друг над другом и сложить n получившихся произведений, то сумма будет равна 0. Докажите, что число n делится на 4.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108219

Темы:   [ Пятиугольники ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Внутри выпуклого пятиугольника выбраны две точки. Докажите, что можно выбрать четырёхугольник с вершинами в вершинах пятиугольника так, что внутрь него попадут обе выбранные точки.
Прислать комментарий     Решение


Задача 109908

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Показательные неравенства ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Обозначим через S(m) сумму цифр натурального числа m. Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных n, что  S(3n) ≥ S(3n+1).

Прислать комментарий     Решение

Задача 110007

Темы:   [ Объединение, пересечение и разность множеств ]
[ Необычные конструкции ]
[ Парадоксы ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Каждый голосующий на выборах вносит в избирательный бюллетень фамилии n кандидатов. На избирательном участке находится n+1 урна. После выборов выяснилось, что в каждой урне лежит по крайней мере один бюллетень и при всяком выборе (n+1) -го бюллетеня по одному из каждой урны найдется кандидат, фамилия которого встречается в каждом из выбранных бюллетеней. Докажите, что по крайней мере в одной урне все бюллетени содержат фамилию одного и того же кандидата.
Прислать комментарий     Решение


Задача 110094

Темы:   [ Целочисленные решетки (прочее) ]
[ Выпуклые многоугольники ]
[ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
[ Деление с остатком ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

В выпуклом многоугольнике на плоскости содержится не меньше  m² + 1  точек с целыми координатами.
Докажите, что в нём найдутся  m + 1  точек с целыми координатами, которые лежат на одной прямой.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 38]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .