ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Емельянов Л.А.

Лев Александрович Емельянов - старший преподаватель Калужского государственного педагогического университета им. К.Э. Циолковского (КГПУ), член жюри Всероссийской олимпиады школьников по математике.

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 86]      



Задача 116940

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]
[ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ]
[ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и CC1. Описанная окружность Ω треугольника ABC пересекает прямую A1C1 в точках A' и C'. Касательные к Ω, проведённые в точках A' и C', пересекаются в точке B'. Докажите, что прямая BB' проходит через центр окружности Ω.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110032

Тема:   [ Взвешивания ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Среди пяти внешне одинаковых монет 3 настоящие и две фальшивые, одинаковые по весу, но неизвестно, тяжелее или легче настоящих. Как за наименьшее число взвешиваний найти хотя бы одну настоящую монету?
Прислать комментарий     Решение


Задача 67097

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ точки $K$, $L$, $M$, $N$ – середины сторон $BC$, $CD$, $DA$, $AB$ соответственно. Отрезки $AK$, $BL$, $CM$, $DN$, пересекаясь, делят друг друга на три части. Оказалось, что отношение длины средней части к длине всего отрезка одно и то же для всех четырех отрезков. Верно ли, что $ABCD$ – параллелограмм?
Прислать комментарий     Решение


Задача 67099

Темы:   [ Вневписанные окружности ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Дан треугольник $ABC$. Прямая $AB$ касается его вписанной окружности в точке $C'$, а вневписанной, касающейся стороны $BC$, – в точке $C'_a$. Аналогично определяются точки $C'_b$, $C'_c$, $A'$, $A'_a$, $A'_b$, $A'_c$, $B'$, $B'_a$, $B'_b$, $B'_c$. Рассмотрим длины 12 отрезков – высот треугольников $A'B'C'$, $A'_aB'_aC'_a$, $A'_bB'_bC'_b$, $A'_cB'_cC'_c$.

а) Какое наибольшее число различных может быть среди них?

б) Найдите все возможные количества различных длин.
Прислать комментарий     Решение


Задача 67119

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ]
[ Построения (прочее) ]
[ Экстремальные свойства (прочее) ]
[ Инверсия помогает решить задачу ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Окружности $s_1$ и $s_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Через точку $A$ проводятся всевозможные прямые, вторично пересекающие окружности в точках $P_1$ и $P_2$. Постройте циркулем и линейкой ту прямую, для которой $P_1A\cdot AP_2$ принимает наибольшее значение.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 86]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .