ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Гервер М.Л.

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



Задача 65396

Тема:   [ Индукция (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Докажите, что любое натуральное число можно представить в виде  3u12v1 + 3u22v2 + ... + 3uk2vk,  где  u1 > u2 > ... > uk ≥ 0  и  0 ≤ v1 < v2 < ... < vk  – целые числа.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98193

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Через S(n) обозначим сумму цифр числа n (в десятичной записи). Существуют ли три таких различных натуральных числа m, n и p, что
m + S(m) = n+S(n) = p + S(p)?  
Прислать комментарий     Решение


Задача 73699

Темы:   [ Линейные рекуррентные соотношения ]
[ Числовые таблицы и их свойства ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

На белых клетках бесконечной шахматной доски, заполняющей верхнюю полуплоскость, записаны какие-то числа так, что для каждой чёрной клетки сумма чисел, стоящих в двух соседних с ней клетках – справа и слева, – равна сумме двух других чисел, стоящих в соседних с ней клетках – сверху и снизу. Известно число, стоящее в одной клетке n-й строки (крестик на рисунке), а требуется узнать число, стоящее над ним в (n+2)-й строке (знак вопроса на рисунке). Сколько ещё чисел, стоящих в двух нижних строках (точки на рисунке), нужно для этого знать?

Прислать комментарий     Решение

Задача 73744

Темы:   [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
[ Неравенства с углами ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Для любого треугольника можно вычислить сумму квадратов тангенсов половин его углов. Докажите, что эта сумма
  а) меньше 2 для любого остроугольного треугольника;
  б) не меньше 2 для любого тупоугольного треугольника, величина тупого угла которого больше или равна  2 arctg 4/3;  а среди треугольников с тупым углом, меньшим  2 arctg 4/3,  имеются и такие, сумма квадратов тангенсов половин углов которых больше 2, и такие, сумма квадратов тангенсов половин углов которых меньше 2.

Прислать комментарий     Решение

Задача 73710

Темы:   [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ]
[ Задачи с ограничениями ]
[ Числовые таблицы и их свойства ]
Сложность: 6
Классы: 10,11

   а) Каждая сторона равностороннего треугольника разбита на m равных частей, и через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам, разрезавшие треугольник на m2 маленьких треугольников. Среди вершин полученных треугольников нужно отметить N вершин так, чтобы ни для каких двух отмеченных вершин A и B отрезок АВ не был параллелен ни одной из сторон. Каково наибольшее возможное значение N (при заданном m)?
   б) Разделим каждое ребро тетраэдра на m равных частей и через точки деления проведём плоскости, параллельные граням. Среди вершин полученных многогранников отметим N вершин так, чтобы никакие две отмеченные вершины не лежали на прямой, параллельной одной из граней. Каково наибольшее возможное N?
   в) Среди решений уравнения  x1 + x2 + ... + xk = m  в целых неотрицательных числах нужно выбрать N решений так, чтобы ни в каких двух из выбранных решений ни одна переменная xi не принимала одного и того же значения. Чему равно наибольшее возможное значение N?

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .