ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Концевич М.

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



Задача 98052

Темы:   [ Деление с остатком ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10

Докажите, что
   а) если натуральное число n можно представить в виде  n = 4k + 1,  то существуют n нечётных натуральных чисел, сумма которых равна их произведению;
   б) если n нельзя представить в таком виде, то таких n нечётных натуральных чисел не существует.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98069

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Периодичность и непериодичность ]
[ Преобразования плоскости (прочее) ]
[ Перебор случаев ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Числовая последовательность {xn} такова, что для каждого  n > 1  выполняется условие:  xn+1 = |xn| – xn–1.
Докажите, что последовательность периодическая с периодом 9.

 
Прислать комментарий     Решение

Задача 98150

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Периодичность и непериодичность ]
[ Осевая и скользящая симметрии (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

В четырёхугольнике ABCD  AB = BC = CD = 1,  AD не равно 1. Положение точек B и C фиксировано, точки же A и D подвергаются преобразованиям, сохраняющим длины отрезков AB, CD и AD. Новое положение точки A получается из старого зеркальным отражением в отрезке BD, новое положение точки D получается из старого зеркальным отражением в отрезке AC (где A уже новое), затем на втором шагу опять A отражается относительно BD (D уже новое), затем снова преобразуется D, затем аналогично проводится третий шаг, и так далее.
Докажите, что на каком-то шагу положение точек совпадает с первоначальным.

Прислать комментарий     Решение

Задача 97775

Темы:   [ Инварианты ]
[ Шахматные доски и шахматные фигуры ]
[ Процессы и операции ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

На бесконечной клетчатой бумаге отмечено шесть клеток (см. рисунок).

На некоторых клетках стоят фишки. Положение фишек разрешается преобразовывать по следующему правилу: если клетки соседняя сверху и соседняя справа от данной фишки обе свободны, то можно поставить в эти клетки по фишке, убрав при этом старую. Ставится цель за некоторое количество таких операций освободить все шесть отмеченных клеток. Можно ли достигнуть этой цели, если
   а) в исходной позиции имеются всего 6 фишек, и они стоят на отмеченных клетках;
   б) в исходной позиции имеется всего одна фишка, и она стоит в левой нижней отмеченной клетке.

Прислать комментарий     Решение

Задача 97806

Темы:   [ Комбинаторика (прочее) ]
[ Индукция в геометрии ]
[ Алгоритм Евклида ]
[ Соображения непрерывности ]
Сложность: 6
Классы: 9,10,11

k вершин правильного n-угольника закрашены. Закраска называется почти равномерной, если для любого натурального m верно следующее условие: если M1 – множество m расположенных подряд вершин и M2 – другое такое множество, то количество закрашенных вершин в M1 отличается от количества закрашенных вершин в M2 не больше, чем на 1. Доказать, что для любых натуральных n и  kn  почти равномерная закраска существует и что она единственна с точностью до поворотов закрашенного множества.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы, Московского института открытого образования и ФЦП "Кадры" .