Страница:
<< 2 3 4 5 6
7 8 >> [Всего задач: 36]
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
Поверхность выпуклого многогранника
A1B1C1A2B2C2 состоит из восьми треугольных граней AiBjCk, где i, j, k меняются от 1 до 2. Сфера с центром в точке O касается всех этих граней. Докажите, что точка O и середины трёх отрезков A1A2, B1B2 и C1C2 лежат в одной плоскости.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
|
На сторонах выпуклого шестиугольника ABCDEF во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники ABC1, BCD1, CDE1, DEF1, EFA1 и FAB1. Оказалось, что треугольник B1D1F1 – равносторонний. Докажите, что треугольник A1C1E1 также равносторонний.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
|
На сторонах выпуклого шестиугольника $ABCDEF$ во внешнюю сторону построены правильные треугольники $ABC_1$, $BCD_1$, $CDE_1$, $DEF_1$, $EFA_1$ и $FAB_1$. Оказалось, что треугольник $B_1D_1F_1$ правильный.
Докажите, что треугольник $A_1C_1E_1$ также правильный.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Докажите, что для любого натурального числа $n\geqslant 2$ и для любых действительных чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$,
удовлетворяющих условию $a_1+a_2+\ldots+a_n\ne 0$, уравнение
\begin{align*}
&a_1(x-a_2)(x-a_3)\ldots(x-a_n)+\\+&a_2(x-a_1)(x-a_3)\ldots(x-a_n)+\ldots\\
\ldots+&a_n(x-a_1)(x-a_2)\ldots(x-a_{n-1})=0
\end{align*}
имеет хотя бы один действительный корень.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
В выпуклом многограннике обозначим через B, P и T соответственно число вершин, рёбер и максимальное число треугольных граней, которые имеют общую вершину. Докажите, что {$\text{В}\sqrt{\text{Р}+\text{Т}}\geqslant 2\text{Р}$}.
Например, для тетраэдра ($\text{В}=4$, $\text{Р}=6$, $\text{Т}=3$) выполняется равенство,
а для треугольной призмы ($\text{В}=6$, $\text{Р}=9$, $\text{Т}=1$) или куба ($\text{В}=8$, $\text{Р}=12$, $\text{Т}=0$) имеет место строгое неравенство.
Страница:
<< 2 3 4 5 6
7 8 >> [Всего задач: 36]
Все авторы
>>
Косухин О.Н. 
