ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Митрофанов И.В.

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 14]      



Задача 65665

Темы:   [ Обыкновенные дроби ]
[ Произведения и факториалы ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Можно ли число 1/10 представить в виде произведения десяти положительных правильных дробей?

Прислать комментарий     Решение

Задача 116832

Темы:   [ Центр масс ]
[ Хорды и секущие (прочее) ]
[ Правильные многоугольники ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

а) Внутри окружности находится некоторая точка A. Через A провели две перпендикулярные прямые, которые пересекли окружность в четырёх точках.
Докажите, что центр масс этих точек не зависит от выбора таких двух прямых.

б) Внутри окружности находится правильный 2n-угольник  (n > 2),  его центр A не обязательно совпадает с центром окружности. Лучи, выпущенные из A в вершины 2n-угольника, высекают 2n точек на окружности. 2n-угольник повернули так, что его центр остался на месте. Теперь лучи высекают 2n новых точек.
Докажите, что их центр масс совпадает с центром масс старых 2n точек.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64352

Темы:   [ Подсчет двумя способами ]
[ Доказательство от противного ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

На окружности отметили n точек, разбивающие её на n дуг. Окружность повернули вокруг центра на угол k/n
(при некотором натуральном k), в результате чего отмеченные точки перешли в n новых точек, разбивающих окружность на n новых дуг.
Докажите, что найдется новая дуга, которая целиком лежит в одной из старых дуг. (Считается, что концы дуги ей принадлежат.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 116050

Темы:   [ Теория игр (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Два мага сражаются друг с другом. Вначале они оба парят над морем на высоте 100 метров. Маги по очереди применяют заклинания вида "уменьшить высоту парения над морем на a метров у себя и на b метров у соперника", где a, b – действительные числа,  0 < a < b.  Набор заклинаний у магов один и тот же, их можно использовать в любом порядке и неоднократно. Маг выигрывает дуэль, если после чьего-либо хода его высота над морем будет положительна, а у соперника – нет. Существует ли такой набор заклинаний, что второй маг может гарантированно выиграть (как бы ни действовал первый), если при этом число заклинаний в наборе
  а) конечно;  б) бесконечно?

Прислать комментарий     Решение

Задача 64856

Темы:   [ Шестиугольники ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

На столе лежал проволочный треугольник с углами x°, y°, z°. Хулиган Коля согнул каждую сторону треугольника на один градус, в результате чего получился невыпуклый шестиугольник c внутренними углами  (x – 1)°,  181°,  (y – 1)°,  181°, (z – 1)°,  181°.  Докажите, что точки сгиба делили стороны исходного треугольника в одном и том же отношении.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 14]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .