ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Астахов В.

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: 1 [Всего задач: 3]      



Задача 111776

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Астахов В.

Дано натуральное число  n > 6.  Рассматриваются натуральные числа, лежащие в промежутке  (n(n – 1), n2)  и взаимно простые с n(n – 1).
Докажите, что наибольший общий делитель всех таких чисел равен 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111845

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Астахов В.

В треугольнике ABC проведена биссектриса BB1. Перпендикуляр, опущенный из точки B1 на BC, пересекает дугу BC описанной окружности треугольника ABC в точке K. Перпендикуляр опущенный из точки B на AK пересекает AC в точке L. Докажите что точки K, L и середина дуги AC (не содержащей точку B) лежат на одной прямой.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110750

Темы:   [ Теория графов (прочее) ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Процессы и операции ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Автор: Астахов В.

Некоторые участники олимпиады дружат, и дружба взаимна. Назовем группу участников кликой, если все они дружат между собой. Их число называется размером клики. Известно, что максимальный размер клики чётен. Докажите, что участников можно рассадить по двум аудиториям так, что максимальные размеры клик в обеих аудиториях совпадают.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 [Всего задач: 3]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .