Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 115877

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

В остроугольном треугольнике ABC точка H – ортоцентр, O – центр описанной окружности, AA₁, BB₁ и CC₁ – высоты. Точка C₂ симметрична C относительно A₁B₁. Докажите, что H, O, C₁ и C₂ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66802

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Пусть точка $P$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$. Точка $A_1$ симметрична ортоцентру треугольника $PBC$ относительно серединного перпендикуляра к $BC$. Точки $B_1$ и $C_1$ определяются аналогично. Докажите, что точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64879

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Из некоторой точки D в плоскости треугольника ABC провели прямые, перпендикулярные к отрезкам DA, DB, DC, которые пересекают прямые BC, AC, AB в точках A₁, B₁, C₁ соответственно. Докажите, что середины отрезков AA₁, BB₁, CC₁ лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115368

Темы:   [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Углы между биссектрисами ] [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ]

Сложность: 5- Классы: 8,9

В треугольнике ABC угол A равен 60^o . Пусть BB₁ и CC₁  — биссектрисы этого треугольника. Докажите, что точка, симметричная вершине A относительно прямой B₁C₁ , лежит на стороне BC .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65235

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три окружности пересекаются в одной точке ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Точка Микеля ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC высоты CC₁ и BB₁ пересекают прямую, проходящую через вершину A и параллельную прямой BC, в точках P и Q. Пусть A₀ – середина стороны BC, а AA₁ – высота. Прямые A₀C₁ и A₀B₁ пересекают прямую PQ в точках K и L. Докажите, что описанные окружности треугольников PQA₁, KLA₀, A₁B₁C₁ и окружность с диаметром AA₁ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями