ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Ясинский В.

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]      



Задача 115888

Темы:   [ Выпуклые многоугольники ]
[ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

На плоскости задано n точек, являющихся вершинами выпуклого n-угольника,  n > 3.  Известно, что существует ровно k равносторонних треугольников со стороной 1, вершины которых – заданные точки.
  а) Докажите, что  k < 2n/3.
  б) Приведите пример конфигурации, для которой  k > 0,666n.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65047

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Проективная геометрия (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

На окружности с диаметром AC выбрана произвольная точка B, отличная от A и C. Пусть M, N – середины хорд AB, BC, а P, Q – середины меньших дуг, стягиваемых этими хордами. Прямые AQ и BC пересекаются в точке K, а прямые CP и AB – в точке L.
Докажите, что прямые MQ, NP и KL пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64475

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

На стороне AB треугольника ABC взята произвольная точка C1. Точки A1, B1 на лучах BC и AC таковы, что  ∠AC1B1 = ∠BC1A1 = ∠ACB.  Прямые AA1 и BB1 пересекаются в точке C2. Докажите, что все прямые C1C2 проходят через одну точку.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64882

Темы:   [ Касающиеся окружности ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Общая касательная к двум окружностям ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Проективная геометрия (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Окружности ω1 и ω2 касаются друг друга внешним образом в точке P. Из точки A окружности ω2, не лежащей на линии центров окружностей, проведены касательные AB, AC к ω1. Прямые BP, CP вторично пересекают ω2 в точках E и F. Докажите, что прямая EF, касательная к ω2 в точке A, и общая касательная к окружностям в точке P пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64926

Темы:   [ Системы точек ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ]
[ Проективная геометрия (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

На плоскости даны n  (n > 2)  точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Сколькими различными способами это множество точек можно разбить на два непустых подмножества так, чтобы выпуклые оболочки этих подмножеств не пересекались?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .