ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Петров Ф.

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



Задача 111852

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Ромбы. Признаки и свойства ]
[ Средняя линия треугольника ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

На стороне BC ромба ABCD выбрана точка M. Прямые, проведённые через M перпендикулярно диагоналям BD и AC, пересекают прямую AD в точках P и Q соответственно. Оказалось, что прямые PB, QC и AM пересекаются в одной точке. Чему может быть равно отношение  BM : MC?

Прислать комментарий     Решение

Задача 109708

Темы:   [ Деление с остатком ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Уравнения в целых числах ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Докажите, что можно разбить все множество натуральных чисел на 100 непустых подмножеств так, чтобы в любой тройке a, b, c, для которой  a + 99b = c,  нашлись два числа из одного подмножества.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111846

Темы:   [ Выпуклые многоугольники ]
[ Процессы и операции ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Вспомогательная раскраска (прочее) ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Автор: Петров Ф.

В каждой вершине выпуклого 100-угольника написано по два различных числа. Докажите, что можно вычеркнуть по одному числу в каждой вершине так, чтобы оставшиеся числа в любых двух соседних вершинах были различными.
Прислать комментарий     Решение


Задача 109758

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Обыкновенные дроби ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Простые числа и их свойства ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Петров Ф.

Докажите, что существует бесконечно много натуральных n, для которых числитель несократимой дроби, равной  1 + 1/2 + ... + 1/n,  не является степенью простого числа с натуральным показателем.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116778

Темы:   [ Арифметические функции (прочее) ]
[ Произведения и факториалы ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11

Автор: Петров Ф.

Для натурального n обозначим  Sn = 1! + 2! + ... + n!.  Докажите, что при некотором n у числа Sn есть простой делитель, больший 102012.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .