ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Рубанов И.С.

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]      



Задача 110108

Тема:   [ Теория игр (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Имеется 11 пустых коробок. За один ход можно положить по одной монете в какие-то 10 из них. Играют двое, ходят по очереди. Побеждает тот, после хода которого впервые в одной из коробок окажется 21 монета. Кто выигрывает при правильной игре?
Прислать комментарий     Решение


Задача 110123

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ]
[ Многочлен нечетной степени имеет действительный корень ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Квадратные трёхчлены  P(x) = x² + ax + b  и  Q(x) = x² + cx + d  таковы, что уравнение  P(Q(x)) = Q(P(x))  не имеет действительных корней.
Докажите, что  b ≠ d .

Прислать комментарий     Решение

Задача 110166

Темы:   [ Взвешивания ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Имеется набор гирь со следующими свойствами:

  1. В нем есть 5 гирь, попарно различных по весу.
  2. Для любых двух гирь найдутся две другие гири того же суммарного веса.
Какое наименьшее число гирь может быть в этом наборе?
Прислать комментарий     Решение

Задача 109528

Темы:   [ Квадратные уравнения и системы уравнений ]
[ Теория игр (прочее) ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

На доске написано n выражений вида  *x² + *x + * = 0  (n – нечетное число). Двое играют в такую игру. Ходят по очереди. За ход разрешается заменить одну из звёздочек числом, не равным нулю. Через 3n ходов получится n квадратных уравнений. Первый игрок стремится к тому, чтобы как можно большее число этих уравнений не имело корней, а второй хочет ему помешать. Какое наибольшее число уравнений, не имеющих корней, может получить первый игрок независимо от игры второго?

Прислать комментарий     Решение

Задача 109576

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Средние величины ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

В вершинах выпуклого n-угольника расставлены m фишек  (m > n).  За один ход разрешается передвинуть две фишки, стоящие в одной вершине, в соседние вершины: одну – вправо, вторую – влево. Докажите, что если после нескольких ходов в каждой вершине n-угольника будет стоять столько же фишек, сколько и вначале, то количество сделанных ходов кратно n.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .