ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Сендеров В.А.

Валерий Анатольевич Сендеров (1945 - 2014 гг.) - математик, педагог, с 70-х годов - постоянный участник проведения московских и российских математических олимпиад. Автор нескольких десятков научных статей в отечественных и зарубежных изданиях, научно-популярных работ в журнале Квант.

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 89]      



Задача 116599

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 2
Классы: 8,9,10

Докажите, что для любого натурального n выполнено неравенство  (n – 1)n+1(n + 1)n–1 < n2n.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116563

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 2+
Классы: 10,11

Существует ли такое вещественное α, что число cos α иррационально, а все числа cos 2α, cos 3α, cos 4α, cos 5α рациональны?

Прислать комментарий     Решение

Задача 98292

Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Признаки делимости на 3 и 9 ]
[ Деление с остатком ]
Сложность: 3-
Классы: 6,7,8


Существует ли такое число n , что числа
  а)  n – 96,  n,  n + 96;
  б)  n – 1996,  n,  n + 1996
простые? (Все простые числа считаем положительными.)
Прислать комментарий     Решение


Задача 105049

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 3-
Классы: 7,8,9

Найдите какие-нибудь четыре попарно различных натуральных числа a, b, c, d, для которых числа  a2 + 2cd + b2  и  c2 + 2ab + d2  являются полными квадратами.

Прислать комментарий     Решение

Задача 97944

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Тождественные преобразования ]
[ Разложение на множители ]
[ Формулы сокращенного умножения (прочее) ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Даны три неотрицательных числа a, b, c. Про них известно, что   a4 + b4 + c4 ≤ 2(a2b2 + b2c2 + c2a2).
   а) Докажите, что каждое из них не больше суммы двух других.
   б) Докажите, что   a2 + b2 + c2 ≤ 2(ab + bc + ca).
   в) Следует ли из неравенства пункта б) исходное неравенство?

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 89]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы, Московского института открытого образования и ФЦП "Кадры" .