ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 100]      



Задача 61282  (#09.031)

Темы:   [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ]
[ Тригонометрические замены ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Решите систему
    y = 2x² – 1,
    z = 2y² – 1,
    x = 2z² – 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61283  (#09.032)

Темы:   [ Принцип Дирихле (углы и длины) ]
[ Тригонометрические замены ]
[ Геометрические интерпретации в алгебре ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Докажите, что среди семи различных чисел всегда можно выбрать два числа x и y так, чтобы выполнялось неравенство

0 < $\displaystyle {\frac{x-y}{1+xy}}$ < $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt3}}$.


Прислать комментарий     Решение

Задача 61284  (#09.033)

Темы:   [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ]
[ Тригонометрические замены ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Среди всех решений системы
    x² + y² = 4,
    z² + t² = 9,
    xt + yz = 6
выберите те, для которых величина  x + z  принимает наибольшее значение.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61285  (#09.034)

Темы:   [ Иррациональные уравнения ]
[ Тригонометрические замены ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Решите уравнения

а) $ \sqrt{1-x^2}$ = 4x3 - 3x;     в) $ \sqrt{1-x}$ = 2x2 - 1 + 2x$ \sqrt{1-x^2}$;

б) x + $ {\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}}$ = $ {\dfrac{35}{12}}$;     г) $ \sqrt{\dfrac{1-\vert x\vert}2}$ = 2x2 - 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61286  (#09.035)

Темы:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Тригонометрия (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Последовательность чисел {hn} задана условиями:

h1 = $\displaystyle {\textstyle\dfrac{1}{2}}$,        hn + 1 = $\displaystyle \sqrt{\dfrac{1-\sqrt{1-h_n^2}}2}$    (n $\displaystyle \geqslant$ 1).


Докажите неравенство $ \sum\limits_{k=1}^{\infty}$hk < 1, 03.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 100]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .