ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 14]      



Задача 57384

Тема:   [ Многоугольники (неравенства) ]
Сложность: 4+
Классы: 9

Длины сторон выпуклого шестиугольника ABCDEF меньше 1. Докажите, что длина одной из диагоналей AD, BE, CF меньше 2.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57387

Тема:   [ Многоугольники (неравенства) ]
Сложность: 4+
Классы: 9

Докажите, что из сторон выпуклого многоугольника периметра P можно составить два отрезка, длины которых отличаются не более чем на P/3.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57385

Тема:   [ Многоугольники (неравенства) ]
Сложность: 5
Классы: 9

Семиугольник  A1...A7 вписан в окружность. Докажите, что если центр этой окружности лежит внутри его, то сумма углов при вершинах  A1, A3, A5 меньше  450o.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57388

Тема:   [ Многоугольники (неравенства) ]
Сложность: 5
Классы: 9

Плоский многоугольник A1A2...An составлен из n твёрдых стержней, соединенных шарнирами. Докажите, что если n > 4, то его можно деформировать в треугольник.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57389

Тема:   [ Многоугольники (неравенства) ]
Сложность: 5
Классы: 9

Внутри выпуклого многоугольника  A1...An взята точка O. Пусть $ \alpha_{k}^{}$ — величина угла при вершине  Ak, xk = OAk, dk — расстояние от точки O до прямой  AkAk + 1. Докажите, что  $ \sum$xksin($ \alpha_{k}^{}$/2) $ \geq$ $ \sum$dk и  $ \sum$xkcos($ \alpha_{k}^{}$/2) $ \geq$ p, где p — полупериметр многоугольника.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 14]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .