Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]

Задача 57531 (#11.011)

Тема:

[

Экстремальные свойства треугольника (прочее)

]

Сложность: 4+
Классы: 9

Докажите, что если $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ и $\alpha_{1}^{}$ , $\beta_{1}^{}$ , $\gamma_{1}^{}$ — углы двух треугольников, то

$\displaystyle {\frac{\cos\alpha _1}{\sin\alpha }}$ + $\displaystyle {\frac{\cos\beta _1}{\sin\beta }}$ + $\displaystyle {\frac{\cos\gamma _1}{\sin\gamma }}$ $\displaystyle \le$ ctg $\displaystyle \alpha$ + ctg $\displaystyle \beta$ + ctg $\displaystyle \gamma$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 57532 (#11.012)

Темы:	[	Экстремальные свойства треугольника (прочее)	]
	[	Неравенство Коши	]
	[	Подобные треугольники (прочее)	]
	[	Тангенсы и котангенсы углов треугольника	]
	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Пусть a, b и c – длины сторон треугольника площади S; α₁, β₁ и γ₁ – углы некоторого другого треугольника. Докажите, что
a² ctg α₁ + b² ctg β₁ + c² ctg γ₁ ≥ 4S, причём равенство достигается, только когда рассматриваемые треугольники подобны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57533 (#11.013)

Темы:	[	Теорема косинусов	]
	[	Исследование квадратного трехчлена	]
	[	Длины сторон (неравенства)	]
	[	Неравенства для углов треугольника	]
	[	Возрастание и убывание. Исследование функций	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Дан треугольник со сторонами a, b и c, причём a ≥ b ≥ c; x, y и z – углы некоторого другого треугольника. Докажите, что

bc + ca – ab < bc cos x + ca cos y + ab cos z ≤ ½ (a² + b² + c²).

Прислать комментарий

Решение

Задача 57534 (#11.014)

Темы:	[	Экстремальные точки треугольника	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим углом	]
	[	Классические неравенства (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC взята точка X, M и N – её проекции на катеты AC и BC.
а) При каком положении точки X длина отрезка MN будет наименьшей?
б) При каком положении точки X площадь четырёхугольника CMXN будет наибольшей?

Прислать комментарий

Решение

Задача 57535 (#11.015)

Тема:

[

Экстремальные точки треугольника

]

Сложность: 2+
Классы: 9

Из точки M, лежащей на стороне AB остроугольного треугольника ABC, опущены перпендикуляры MP и MQ на стороны BC и AC. При каком положении точки M длина отрезка PQ минимальна?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]