ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 10]      



Задача 57691

Тема:   [ Скалярное произведение. Соотношения ]
Сложность: 3
Классы: 9

Докажите, что если диагонали четырехугольника ABCD перпендикулярны, то и диагонали любого другого четырехугольника с такими же длинами сторон перпендикулярны.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57692

Тема:   [ Скалярное произведение. Соотношения ]
Сложность: 4
Классы: 9

а) Пусть A, B, C и D — произвольные точки плоскости. Докажите, что ($ \overrightarrow{AB}$,$ \overrightarrow{CD}$) + ($ \overrightarrow{BC}$,$ \overrightarrow{AD}$) + ($ \overrightarrow{CA}$,$ \overrightarrow{BD}$) = 0.
б) Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57693

Тема:   [ Скалярное произведение. Соотношения ]
Сложность: 4
Классы: 9

Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, а точка H обладает тем свойством, что $ \overrightarrow{OH}$ = $ \overrightarrow{OA}$ + $ \overrightarrow{OB}$ + $ \overrightarrow{OC}$. Докажите, что H — точка пересечения высот треугольника ABC.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57694

Тема:   [ Скалярное произведение. Соотношения ]
Сложность: 4
Классы: 9

Докажите, что OH2 = R2(1 - 8 cos$ \alpha$cos$ \beta$cos$ \gamma$).
Прислать комментарий     Решение


Задача 57695

Тема:   [ Скалярное произведение. Соотношения ]
Сложность: 4
Классы: 9

Пусть A1...An — правильный n-угольник, X — произвольная точка. Рассмотрим проекции X1, ..., Xn точки X на прямые A1A2, ..., AnA1. Пусть xi — длина отрезка AiXi с учётом знака (знак плюс берётся в случае, когда лучи AiXi и AiAi + 1 сонаправлены). Докажите, что сумма x1 + ... + xn равна половине периметра многоугольника A1...An.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 2 >> [Всего задач: 10]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .