ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]      



Задача 58100  (#21.021)

Темы:   [ Принцип Дирихле (углы и длины) ]
[ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
Сложность: 6
Классы: 8,9,10,11

Даны две одинаковые окружности. На каждой из них отмечено по k дуг, угловые величины каждой из которых меньше $ {\frac{1}{k^2-k+1}}$ . 180o, причем окружности можно совместить так, чтобы отмеченные дуги одной окружности совпали с отмеченными дугами другой. Докажите, что эти окружности можно совместить так, чтобы все отмеченные дуги оказались на неотмеченных местах.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58101  (#21.022)

Темы:   [ Принцип Дирихле (площадь и объем) ]
[ Площадь круга, сектора и сегмента ]
[ Площади криволинейных фигур ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

В квадрате со стороной 15 расположено 20 попарно непересекающихся квадратиков со стороной 1. Докажите, что в большом квадрате можно разместить круг радиуса 1 так, чтобы он не пересекался ни с одним из квадратиков.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58102  (#21.023)

Темы:   [ Принцип Дирихле (площадь и объем) ]
[ Геометрия на клетчатой бумаге ]
[ Теорема Минковского ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Дана бесконечная клетчатая бумага и фигура, площадь которой меньше площади клетки. Докажите, что эту фигуру можно положить на бумагу, не накрыв ни одной вершины клетки.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58103  (#21.024)

Темы:   [ Принцип Дирихле (площадь и объем) ]
[ Упаковки ]
[ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Назовем крестом фигуру, образованную диагоналями квадрата со стороной 1 (рис.). Докажите, что в круге радиуса 100 можно разместить лишь конечное число непересекающихся крестов.


Прислать комментарий     Решение

Задача 58104  (#21.025)

Темы:   [ Принцип Дирихле (площадь и объем) ]
[ Перенос помогает решить задачу ]
[ Площадь круга, сектора и сегмента ]
Сложность: 6-
Классы: 8,9,10,11

Попарные расстояния между точками A1,..., An больше 2. Докажите, что любую фигуру, площадь которой меньше $ \pi$, можно сдвинуть на вектор длиной не более 1 так, что она не будет содержать точек A1,..., An.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .