ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 13]      



Задача 58085  (#21.006)

Темы:   [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
[ Вписанные и описанные многоугольники ]
[ Покрытия ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

В квадрате со стороной 1 находится 51 точка. Докажите, что какие-то три из них можно накрыть кругом радиуса 1/7.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78570  (#21.007)

Темы:   [ Принцип Дирихле (углы и длины) ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Два неравных картонных диска разделены на 1965 равных секторов. На каждом из дисков произвольно выбраны 200 секторов и раскрашены в красный цвет. Меньший диск наложен на больший, так что их центры совпадают, а секторы целиком лежат один против другого. Меньший диск поворачивают на всевозможные углы, кратные $ {\frac{1}{1965}}$ части окружности, оставляя больший диск неподвижным. Доказать, что по крайней мере при 60 положениях на дисках совпадут не более 20 красных секторов.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58087  (#21.008)

Темы:   [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
[ Площадь трапеции ]
[ Отношения площадей (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четырехугольника, площади которых относятся как 2 : 3. Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58088  (#21.009)

Темы:   [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
[ Геометрия на клетчатой бумаге ]
Сложность: 5
Классы: 7,8,9

В парке растет 10000 деревьев, посаженных квадратно-гнездовым способом (100 рядов по 100 деревьев). Какое наибольшее число деревьев можно срубить, чтобы выполнялось следующее условие: если встать на любой пень, то не будет видно ни одного другого пня? (Деревья можно считать достаточно тонкими.)
Прислать комментарий     Решение


Задача 58089  (#21.010)

Темы:   [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
[ Выпуклые многоугольники ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9,10

Какое наименьшее число точек достаточно отметить внутри выпуклого n-угольника, чтобы внутри любого треугольника с вершинами в вершинах n-угольника содержалась хотя бы одна отмеченная точка?
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 13]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .