Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 50]

Задача 58140 (#22.012B7)

Темы:	[	Сумма Минковского	]
Темы:	[	Свойства симметрии и центра симметрии	]

Сложность: 5
Классы: 9,10

Докажите, что выпуклый многоугольник имеет центр симметрии тогда и только тогда, когда его можно представить в виде суммы нескольких отрезков.

Прислать комментарий Решение

Задача 58141 (#22.012)

Тема:

[

Теорема Хелли

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

а) На плоскости даны четыре выпуклые фигуры, причем любые три из них имеют общую точку. Докажите, что тогда и все они имеют общую точку.
б) На плоскости дано n выпуклых фигур, причем любые три из них имеют общую точку. Докажите, что все n фигур имеют общую точку (теорема Хелли).

Прислать комментарий Решение

Задача 58078 (#22.013)

Темы:	[	Принцип крайнего (прочее)	]
Темы:	[	Теорема Хелли	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

На плоскости дано n точек, причем любые три из них можно накрыть кругом радиуса 1. Докажите, что тогда все n точек можно накрыть кругом радиуса 1.

Прислать комментарий Решение

Задача 58143 (#22.014B)

Тема:

[

Теорема Хелли

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

а) Дан выпуклый многоугольник. Известно, что для любых трёх его сторон можно выбрать точку O внутри многоугольника так, что перпендикуляры, опущенные из точки O на эти три стороны, попадают на сами стороны, а не на их продолжения. Докажите, что тогда такую точку O можно выбрать для всех сторон одновременно.
б) Докажите, что в случае выпуклого четырёхугольника такую точку O можно выбрать, если её можно выбрать для любых двух сторон.

Прислать комментарий Решение

Задача 58144 (#22.014)

Тема:

[

Теорема Хелли

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Докажите, что внутри любого выпуклого семиугольника есть точка, не принадлежащая ни одному из четырехугольников, образованных четверками его соседних вершин.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 50]