ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



Задача 58267  (#25.045)

Тема:   [ Покрытия ]
Сложность: 5
Классы: 8,9

На отрезке длиной 1 расположено несколько отрезков, полностью его покрывающих. Докажите, что можно выбросить некоторые из них так, чтобы оставшиеся по-прежнему покрывали отрезок и сумма их длин не превосходила 2.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58268  (#25.046)

Темы:   [ Покрытия ]
[ Системы отрезков, прямых и окружностей ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Принцип Дирихле (углы и длины) ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9

Отрезок длиной 1 покрыт несколькими лежащими на нем отрезками. Докажите, что среди них можно выбрать несколько попарно непересекающихся отрезков, сумма длин которых не меньше 0,5.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58269  (#25.047)

Тема:   [ Покрытия ]
Сложность: 5
Классы: 8,9

Дан выпуклый пятиугольник, все углы которого тупые. Докажите, что в нем найдутся две такие диагонали, что круги, построенные на них как на диаметрах, полностью покроют весь пятиугольник.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58270  (#25.048)

Тема:   [ Покрытия ]
Сложность: 6+
Классы: 8,9

а) Квадрат со стороной 1 покрыт несколькими меньшими квадратами со сторонами, параллельными его сторонам. Докажите, что среди них можно выбрать непересекающиеся квадраты, сумма площадей которых не меньше 1/9.
б) Площадь объединения нескольких кругов равна 1. Докажите, что из них можно выбрать несколько попарно непересекающихся кругов с общей площадью не менее 1/9.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58271  (#25.049)

Тема:   [ Покрытия ]
Сложность: 5
Классы: 8,9

Прожектор освещает угол величиной 90o. Докажите, что в любых четырех заданных точках можно разместить 4 прожектора так, что они осветят всю плоскость.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .