ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



Задача 58307

Темы:   [ Индукция в геометрии ]
[ Раскраски ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что если плоскость разбита на части прямыми и окружностями, то получившуюся карту можно раскрасить в два цвета так, что части, граничащие по дуге или отрезку, будут разного цвета.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58309

Темы:   [ Индукция в геометрии ]
[ Трапеции (прочее) ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Пусть E – точка пересечения боковых сторон AD и BC трапеции ABCD, Bn+1 – точка пересечения прямых AnC и BD  (A0 = A),  An+1 – точка пересечения прямых EBn+1 и  AB. Докажите, что  AnB = AB/n+1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 58308

Темы:   [ Индукция в геометрии ]
[ Выпуклые многоугольники ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9

Докажите, что в выпуклом n-угольнике нельзя выбрать больше n диагоналей так, чтобы любые две из них имели общую точку.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58310

Темы:   [ Индукция в геометрии ]
[ Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11

На прямой даны точки A1,..., An и  B1,..., Bn - 1. Докажите, что

$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}$    $\displaystyle {\frac{\prod\limits_{k=1}^{n-1} \overline{A_iB_k}}{\prod\limits_{j\ne 1}
\overline{A_iA_j}}}$ = 1.


Прислать комментарий     Решение

Задача 58311

Темы:   [ Индукция в геометрии ]
[ Системы точек ]
Сложность: 6+
Классы: 8,9

Докажите, что если n точек не лежат на одной прямой, то среди прямых, их соединяющих, не менее n различных.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 [Всего задач: 5]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .