ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 59]      



Задача 58419  (#30.011)

Тема:   [ Проективные преобразования плоскости ]
Сложность: 6
Классы: 10,11

Докажите, что если плоскости $ \alpha_{1}^{}$ и $ \alpha_{2}^{}$ пересекаются, то центральное проектирование $ \alpha_{1}^{}$ на $ \alpha_{2}^{}$ с центром O задает взаимно однозначное отображение плоскости $ \alpha_{1}^{}$ с выкинутой прямой l1 на плоскость $ \alpha_{2}^{}$ с выкинутой прямой l2, где l1 и l2 — прямые пересечения плоскостей $ \alpha_{1}^{}$ и $ \alpha_{2}^{}$ соответственно с плоскостями, проходящими через O и параллельными $ \alpha_{2}^{}$ и $ \alpha_{1}^{}$. При этом на l1 отображение не определено.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58420  (#30.012)

Тема:   [ Проективные преобразования плоскости ]
Сложность: 6
Классы: 10,11

Докажите, что при центральном проектировании прямая, не являющаяся исключительной, проецируется в прямую.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58421  (#30.013)

Тема:   [ Проективные преобразования плоскости ]
Сложность: 6
Классы: 10,11

Докажите, что если наряду с обычными точками и прямыми рассматривать бесконечно удаленные, то
а) через любые две точки проходит единственная прямая;
б) любые две прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются в единственной точке;
в) центральное проектирование одной плоскости на другую является взаимно однозначным отображением.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58422  (#30.014)

Тема:   [ Проективные преобразования плоскости ]
Сложность: 6
Классы: 10,11

а) Докажите, что проективное преобразование P плоскости, переводящее бесконечно удаленную прямую в бесконечно удаленную прямую, является аффинным.
б) Докажите, что если точки A, B, C, D лежат па прямой, параллельной исключительной прямой проективного преобразования P плоскости $ \alpha$, то P(A)P(B) : P(C)P(D) = AB : CD.
в) Докажите, что если проективное преобразование P переводит параллельные прямые l1 и l2 в параллельные прямые, то либо P аффинно, либо его исключительная прямая параллельна прямым l1 и l2.
г) Пусть P — взаимно однозначное преобразование множества всех конечных и бесконечных точек плоскости, которое каждую прямую переводит в прямую. Докажите, что P проективно.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58423  (#30.015)

Тема:   [ Проективные преобразования плоскости ]
Сложность: 7
Классы: 10,11

Даны точки A, B, C, D, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и точки A1, B1, C1, D1, удовлетворяющие тому же условию.
а) Докажите, что существует проективное преобразование, переводящее точки A, B, C, D соответственно в точки A1, B1, C1, D1.
б) Докажите, что преобразование задачи а) единственно, т. е. проективное преобразование плоскости определяется образами четырех точек в общем положении (ср. с задачей 30.4).
в) Докажите утверждение задачи а), если точки A, B, C лежат на одной прямой l, а точки A1, B1, C1 — на одной прямой l1.
г) Единственно ли преобразование задачи в)?
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 59]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .