Страница:
<< 1 2 3
4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]
Задача
60605
(#03.153)
|
|
Сложность: 3 Классы: 7,8,9
|
Григорианский
календарь.
Обыкновенный год
содержит 365 дней, високосный — 366.
n-й год, номер
которого не делится на 100, является високосным тогда и только
тогда, когда
n кратно 4.
n-й год, где
n делится на
100, является високосным тогда и только тогда, когда
n кратно
400. Так, например, 1996-й и 2000-й годы — високосные,
а 1997-й и 1900-й — нет. Эти правила были установлены
папой Григорием XIII.
До сих пор мы имели ввиду ``гражданский год'', число дней
которого должно быть целым. Астрономическим же годом называется
период времени, за который Земля совершает полный оборот вокруг
Солнца. Считая, что ``григорианский год'' полностью
согласован с астрономическим годом, найдите продолжительность
астрономического года.
Задача
60606
(#03.154)
|
|
Сложность: 3+ Классы: 9,10,11
|
Докажите, что любое иррациональное число α допускает представление
α = [a0; a1, ..., an–1, αn], где a0 – целое, a1, a2, ..., an–1 – натуральные, αn > 1 – иррациональное действительное. Отсюда следует, что каждому иррациональному действительному числу можно поставить в соответствие бесконечную цепную дробь.
Задача
60607
(#03.155)
|
|
Сложность: 4 Классы: 10,11
|
Докажите, что для любой бесконечной цепной дроби
[a0; a1, ..., an, ...] существует предел её подходящих дробей – иррациональное число α. Объясните, почему если это число α разложить в бесконечную цепную дробь при помощи алгоритма задачи 60606, то получится бесконечная цепная дробь, равная исходной.
Задача
60608
(#03.156)
|
|
Сложность: 3+ Классы: 10,11
|
Предположим, что число α задано бесконечной цепной дробью α = [a0; a1, ..., an, ...]. Докажите, что где Qk – знаменатели подходящих дробей.
Задача
60609
(#03.157)
|
|
Сложность: 4- Классы: 10,11
|
Последовательности {ak} и {bk} строятся по следующему закону: a1 = 1, an+1 = min(an, bn), bn+1 = |bn – an| (n ≥ 1).
а) Докажите, что an ≠ 0 и an стремится к 0 при n → ∞.
б) Докажите, что последовательность имеет предел и найдите этот предел.
Страница:
<< 1 2 3
4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]