ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 15]      



Задача 61539  (#12.011)

Темы:   [ Задачи-шутки ]
[ Квадратные корни (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 9,10

``1 = - 1''. Изучив комплексные числа, Коля Васин решил вывести формулу, которая носила бы его имя. После нескольких попыток ему это удалось:

$\displaystyle \sqrt{\frac{1}{-1}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{-1}{1}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle {\frac{\sqrt1}{\sqrt{-1}}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt1}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle \sqrt{1}$$\displaystyle \sqrt{1}$ = $\displaystyle \sqrt{-1}$$\displaystyle \sqrt{-1}$ $\displaystyle \Rightarrow$ 1 = - 1.

После некоторых размышлений, Коля придумал более короткое доказательство своего тождества:

-1 = i2 = $\displaystyle \sqrt{-1}$ . $\displaystyle \sqrt{-1}$ = $\displaystyle \sqrt{(-1)(-1)}$ = $\displaystyle \sqrt{1}$ = 1.

Не ошибся ли где-нибудь Коля Васин?

Прислать комментарий     Решение

Задача 61540  (#12.012)

Темы:   [ Комплексная экспонента ]
[ Задачи-шутки ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

После экспериментов с мнимой единицей, Коля Васин занялся комплексной экспонентой. Пользуясь формулами задачи 61115, он смог доказать, что  sin x  всегда равен нулю, а  cos x  – единице:

   
Где ошибка в приведённых равенствах?

Прислать комментарий     Решение

Задача 61541  (#12.013)

Темы:   [ Разные задачи на разрезания ]
[ Задачи-шутки ]
[ Числа Фибоначчи ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10

``65 = 64 = 63''. Тождество Кассини лежит в основе одного геометрического парадокса. Он заключается в том, что можно взять шахматную доску, разрезать ее на четыре части, как показано ниже, а затем составить из этих же частей прямоугольник:




\begin{picture}
(80,80)\multiput(0,0)(0,10){9}{\line(1,0){80}}
\multiput(0,0)(...
...(0,1){80}}
\put(0,50){\line(1,0){80}}\qbezier(50,0)(40,25)(30,50)
\end{picture}
        
\begin{picture}
(150,50)\multiput(0,0)(0,10){6}{\line(1,0){130}}
\multiput(0,0...
...0,1){30}}\put(50,20){\line(0,1){30}}
\qbezier(0,0)(65,25)(129,50)
\end{picture}



Как расположить те же четыре части шахматной доски, чтобы доказать равенство ``64=63''?

Прислать комментарий     Решение

Задача 61542  (#12.014)

Темы:   [ Системы счисления (прочее) ]
[ Числа Фибоначчи ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Из километров — в мили. В задаче 3.125 была введена фибоначчиева система счисления. Она оказывается удобной, когда нужно сделать перевод расстояния из километров в мили или наоборот.
Предположим, что мы хотим узнать, сколько миль в 30 километрах. Для этого представляем число 30 в фибоначчиевой системе счисления:

30 = 21 + 8 + 1 = F8 + F6 + F2 = (1010001)F.

Теперь нужно сдвинуть каждое число на одну позицию вправо, получая

F7 + F5 + F1 = 13 + 5 + 1 = 19 = (101001)F.

Поэтому предполагаемый результат — 19 миль. (Правильный ответ — около 18.46 миль.) Аналогично делается перевод из миль в километры.
Объясните, почему работает такой алгоритм. Проверьте, что он дает округленное число миль в n километрах при всех n $ \leqslant$ 100, отличающееся от правильного ответа меньше чем на 2/3 мили.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61543  (#12.015)

Темы:   [ Задачи-шутки ]
[ Ряды (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9,10,11

Обозначим через S сумму следующего ряда:

S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -... (12.1)

Преобразовав равенство (12.1 ), можно получить уравнение, из которого находится S:

S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 +...) = 1 - S $\displaystyle \Rightarrow$ S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$.

Сумму S можно также найти объединяя слагаемые ряда (12.1 ) в пары:

S = (1 - 1) + (1 - 1) +...= 0 + 0 +...= 0;
S = 1 - (1 - 1) - (1 - 1) -...= 1 - 0 - 0 -...= 1.

Наконец, переставив местами соседние слагаемые, получаем еще одно значение S:

S = - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +...= - 1 + (1 - 1) + (1 - 1) +...= - 1.

Итак, действуя четырьмя разными способами, мы нашли четыре значения суммы S:

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ = 0 = 1 = - 1.

Какое же значение имеет сумма S в действительности?
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 15]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .