ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выпуски:
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      



Задача 73656  (#М121)

Темы:   [ Средние величины ]
[ Процессы и операции ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Для любых n вещественных чисел a1, a2, ..., an существует такое натуральное  k ≤ n,  что каждое из k чисел ak,  ½ (ak + ak–1),
⅓ (ak + ak–1 + ak–2),  ...,  1/k (ak + ak–1 + ... + a2 + a1)  не превосходит среднего арифметического c чисел a1, a2, ..., an.

Прислать комментарий     Решение

Задача 52408  (#М122)

Темы:   [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Пятиугольники ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Вписанные и описанные многоугольники ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Расстояния от точки A до прямых BC, CD и DE равны соответственно a, b и c.
Найдите расстояние от вершины A до прямой BE.

Прислать комментарий     Решение

Задача 73658  (#М123)

Темы:   [ Произведения и факториалы ]
[ Простые числа и их свойства ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Найдите все такие натуральные числа m, что произведение факториалов первых m нечётных натуральных чисел равно факториалу суммы первых m натуральных чисел.

Прислать комментарий     Решение

Задача 73660  (#М125)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Последовательности (прочее) ]
[ Перебор случаев ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Автор: Ионин Ю.И.

а) Существует ли бесконечная последовательность натуральных чисел, обладающая следующим свойством: ни одно из этих чисел не делится на другое, но среди каждых трёх чисел можно выбрать два, сумма которых делится на третье?

б) Если нет, то как много чисел может быть в наборе, обладающем таким свойством?

в) Решите ту же задачу при дополнительном условии: в набор разрешено включать только нечётные числа.

Вот пример такого набора из четырёх чисел: 3, 5, 7, 107. Здесь среди трёх чисел 3, 5, 7 сумма  5 + 7  делится на 3; в тройке 5, 7, 107 сумма  107 + 5  делится на 7; в тройке 3, 7, 107 сумма  7 + 107  делится на 3; наконец, в тройке 3, 5, 107 сумма  3 + 107  делится на 5.

Прислать комментарий     Решение

Задача 56804  (#М126)

Темы:   [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
[ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]
[ Длины сторон (неравенства) ]
[ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ]
[ Вписанные и описанные многоугольники ]
[ Свойства частей, полученных при разрезаниях ]
Сложность: 5
Классы: 9,10

Многоугольник, описанный около окружности радиуса r, разрезан на треугольники (произвольным образом). Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше r.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .