ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выпуски:
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      



Задача 73662  (#М127)

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Для каждого натурального n обозначим через  s(n)  сумму цифр его десятичной записи. Назовём натуральное число m особым, если его нельзя представить в виде  m = n + s(n).  (Например, число 117 не особое, поскольку  117 = 108 + s(108),  а число 121, как нетрудно убедиться, – особое.) Верно ли, что особых чисел существует лишь конечное число?

Прислать комментарий     Решение

Задача 57647  (#М128)

Темы:   [ Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее) ]
[ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ]
[ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
[ Вневписанные окружности ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Найдите отношение сторон треугольника, одна из медиан которого делится вписанной окружностью на три равные части.
Прислать комментарий     Решение


Задача 73664  (#М129)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ]
[ Алгоритм Евклида ]
[ Принцип крайнего ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

  а) В ведро налили 12 литров молока. Пользуясь лишь сосудами в 5 и 7 л, разделите молоко на две равные части.
  б) Решите общую задачу: при каких a и b можно разделить пополам  a + b  литров молока, пользуясь лишь сосудами в a литров, b литров и  a + b  литров?
За одно переливание из одного сосуда в другой можно вылить всё, что там есть, или долить второй сосуд до верха.

Прислать комментарий     Решение

Задача 73665  (#М130)

Темы:   [ Системы точек ]
[ Метод ГМТ ]
[ Метод ГМТ в пространстве ]
[ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]
[ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ]
[ Движение помогает решить задачу ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Объем помогает решить задачу ]
Сложность: 10-
Классы: 9,10,11

Какое наибольшее число точек можно разместить a) на плоскости; б)* в пространстве так, чтобы ни один из треугольников с вершинами в этих точках не был тупоугольным?
(Разумеется, в условии подразумевается, что никакие три точки не должны лежать на одной прямой – без этого ограничения можно разместить сколько угодно точек.)
Прислать комментарий     Решение


Задача 73667  (#М132)

Темы:   [ Тождественные преобразования ]
[ Четность и нечетность ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
[ Подсчет двумя способами ]
Сложность: 5
Классы: 7,8,9

По окружности выписаны n чисел  x1, x2, ..., xn,  каждое из которых равно 1 или –1, причём сумма произведений соседних чисел равна нулю и вообще для каждого  k = 1, 2, ..., n – 1  сумма n произведений чисел, отстоящих друг от друга на k мест, равна нулю
(то есть  x1x2 + x2x3 + ... + xnx1 = 0,  x1x3 + x2x4 + ... + xnx2 = 0,  x1x4 + x2x5 + ... + xnx3 = 0  и так далее; например, для  n = 4  можно взять одно из чисел равным –1, а три других – равными 1).
  а) Докажите, что n – квадрат целого числа.
  б)* Существует ли такой набор чисел для  n = 16?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .