ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



Задача 97992  (#М1166)

Темы:   [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ]
[ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]
[ Тождественные преобразования ]
[ Теорема косинусов ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Докажите, что  a²pq + b²qr + c²rp ≤ 0,  если a, b, c – стороны треугольника; а p, q, r – любые числа, удовлетворяющие условию  p + q + r = 0.

Прислать комментарий     Решение

Задача 97993  (#М1167)

Темы:   [ Перестановки и подстановки ]
[ Отношение порядка ]
[ Правило произведения ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Анджанс А.

Числа 1, 2, 3, ..., N записываются в строчку в таком порядке, что если где-то (не на первом месте) записано число i, то где-то слева от него встретится хотя бы одно из чисел  i + 1  и  i – 1.  Сколькими способами это можно сделать?

Прислать комментарий     Решение

Задача 97994  (#М1168)

Темы:   [ Обход графов ]
[ Классическая комбинаторика (прочее) ]
[ Подсчет двумя способами ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

В стране 1988 городов и 4000 дорог.
Докажите, что можно указать кольцевой маршрут, проходящий не более, чем через 20 городов (каждая дорога соединяет два города).

Прислать комментарий     Решение

Задача 108032  (#М1169)

Темы:   [ Перегруппировка площадей ]
[ Перенос помогает решить задачу ]
[ Площадь четырехугольника ]
[ Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух сторон ]
[ Четырехугольник (неравенства) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Пусть M – внутренняя точка прямоугольника ABCD, а S – его площадь. Докажите, что S ≤ AM·CM + BM·DM.

Прислать комментарий     Решение

Задача 97985  (#М1170)

Темы:   [ Перестройки ]
[ Выпуклые многоугольники ]
[ Разные задачи на разрезания ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Выпуклый n-угольник разрезан непересекающимися диагоналями на треугольники. Разрешается проделывать следующее преобразование (перестройку): взяв пару треугольников ABD и BCD с общей стороной, заменить их на треугольники ABC и ACD. Пусть P(n) – наименьшее число перестроек, за которое можно перевести каждое разбиение в любое. Докажите, что
  а)  P(n) ≥ n – 3;
  б)  P(n) ≤ 2n – 7;
  в)  P(n) ≤ 2n – 10  при  n ≥ 13.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .