ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]      



Задача 78037

Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Арифметическая прогрессия ]
[ Деление с остатком ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

p простых чисел a1, a2, ..., ap образуют возрастающую арифметическую прогрессию и  a1 > p.
Доказать, что если p – простое число, то разность прогрессии делится на p.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78051

Темы:   [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

Числа [a], [2a], ..., [Na] различны между собой, и числа $ \left[\vphantom{\frac{1}{a}}\right.$$ {\frac{1}{a}}$$ \left.\vphantom{\frac{1}{a}}\right]$, $ \left[\vphantom{\frac{2}{a}}\right.$$ {\frac{2}{a}}$$ \left.\vphantom{\frac{2}{a}}\right]$, ..., $ \left[\vphantom{\frac{M}{a}}\right.$$ {\frac{M}{a}}$$ \left.\vphantom{\frac{M}{a}}\right]$ тоже различны между собой. Найти все такие a.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78053

Темы:   [ Арифметическая прогрессия ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Расположить на прямой систему отрезков длины 1, не имеющих общих концов и общих точек так, чтобы бесконечная арифметическая прогрессия с любой разностью и любым начальным членом имела общую точку с некоторым отрезком системы.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78058

Темы:   [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]
[ Задачи с ограничениями ]
Сложность: 4
Классы: 11

Имеется 1955 точек. Какое максимальное число троек можно из них выбрать так, чтобы каждые две тройки имели ровно одну общую точку?

Прислать комментарий     Решение

Задача 78043

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Квадратный трехчлен (прочее) ]
[ Монотонность и ограниченность ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Трёхчлен  ax² + bx + c  при всех целых x является точной четвёртой степенью. Доказать, что тогда  a = b = 0.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .