ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



Задача 78039  (#1)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Осевая и скользящая симметрии (прочее) ]
[ Четность и нечетность ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 11

Квадратная таблица в n² клеток заполнена числами от 1 до n так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа. Если n нечётно и таблица симметрична относительно диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний, то на этой диагонали встретятся все эти числа 1, 2, 3,..., n. Доказать.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78036  (#2)

Тема:   [ Симметрические системы. Инволютивные преобразования ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Найти все действительные решения системы
   x³ + y³ = 1,
   x4 + y4 = 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78040  (#3)

Темы:   [ Аффинные преобразования и их свойства ]
[ Аналитический метод в геометрии ]
Сложность: 4-
Классы: 11

На плоскости даны две прямые, пересекающиеся под острым углом. В направлении одной из прямых производится сжатие с коэффициентом 1/2. Доказать, что найдется точка, расстояние от которой до точки пересечения прямых увеличится.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78038  (#4)

Тема:   [ Неравенство треугольника (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Дан $ \Delta$ABC и точка D внутри него, причем AC - DA > 1 и BC - BD > 1. Берётся произвольная точка E внутри отрезка AB. Доказать, что EC - ED > 1.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78041  (#5)

Темы:   [ Трехгранные и многогранные углы (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 11

Дан трехгранный угол с вершиной O. Можно ли найти такое плоское сечение ABC, чтобы углы OAB, OBA, OBC, OCB, OAC, OCA были острыми?
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 [Всего задач: 5]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .