ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



Задача 78052  (#1)

Темы:   [ Подобные треугольники ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Дан треугольник ABC. На сторонах AB, BC, CA взяты соответственно точки C1, A1, B1 так, что  AC1 : C1B = BA1 : A1C = CB1 : B1A = 1 : n.  На сторонах A1B1, B1C1, C1A1 треугольника A1B1C1 взяты соответственно точки C2, A2, B2 так, что  A1C2 : C2B1 = B1A2 : A2C1 = C1B2 : B2A1 = n : 1.  Доказать, что  A2C2 || AC,  C2B2 || CB,   B2A2 || BA.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78053  (#2)

Темы:   [ Арифметическая прогрессия ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Расположить на прямой систему отрезков длины 1, не имеющих общих концов и общих точек так, чтобы бесконечная арифметическая прогрессия с любой разностью и любым начальным членом имела общую точку с некоторым отрезком системы.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78054  (#3)

Темы:   [ Уравнения высших степеней (прочее) ]
[ Монотонность и ограниченность ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Дано уравнение  xn – a1xn–1a2xn–2 – ... – an–1x – an = 0,  где  a1 ≥ 0,  a2 ≥ 0,  an ≥ 0.
Доказать, что это уравнение не может иметь двух положительных корней.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78048  (#4)

Темы:   [ Окружности, вписанные в сегмент ]
[ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
Сложность: 6
Классы: 9,10

Две окружности касаются друг друга внешним образом и третьей изнутри. Проводятся внешняя и внутренняя общие касательные к первым двум окружностям. Доказать, что внутренняя касательная делит пополам дугу, отсекаемую внешней касательной на третьей окружности.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78055  (#5)

Темы:   [ Перебор случаев ]
[ Турниры и турнирные таблицы ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Пять человек играют несколько партий в домино (два на два) так, что каждый играющий имеет каждого из остальных один раз партнёром и два раза противником. Найти количество сыгранных партий и все способы распределения играющих.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .