ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



Задача 78572  (#1)

Темы:   [ Взвешивания ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9,10

Имеется 11 мешков монет. В 10 из них монеты настоящие, а в одном – все монеты фальшивые. Все настоящие монеты одного веса, все фальшивые монеты – также одного, но другого веса. Имеются весы, с помощью которых можно определить, какой из двух грузов тяжелее и на сколько. Двумя взвешиваниями определить, в каком мешке фальшивые монеты.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78573  (#2)

Темы:   [ Свойства симметрий и осей симметрии ]
[ Свойства симметрии и центра симметрии ]
[ Малые шевеления ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Дан биллиард прямоугольной формы. В его углах имеются лузы, попадая в которые шарик останавливается. Шарик выпускают из одного угла бильярда под углом 45o к стороне. В какой-то момент он попал в середину некоторой стороны. Доказать, что в середине противоположной стороны он побывать не мог.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78568  (#3)

Темы:   [ Последовательности (прочее) ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Свойства модуля. Неравенство треугольника ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Дана последовательность ..., a-n,..., a-1, a0, a1,..., an,... бесконечная в обе стороны, причём каждый её член равен $ {\frac{1}{4}}$ суммы двух соседних. Доказать, что если какие-то два её члена равны, то в ней есть бесконечное число пар равных между собой чисел. (Пояснение: два члена, про которые известно, что они равны, не обязательно соседние).
Прислать комментарий     Решение


Задача 78576  (#4)

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Доказательство от противного ]
[ Периодичность и непериодичность ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

На лист клетчатой бумаги размером n×n клеток кладутся чёрные и белые кубики, причём каждый кубик занимает ровно одну клетку. Первый слой кубиков положили произвольно, а затем вспомнили, что каждый чёрный кубик должен граничить с чётным числом белых, а каждый белый — с нечётным числом чёрных. Кубики во второй слой положили так, чтобы для всех кубиков первого слоя выполнялось это условие. Если для всех кубиков второго слоя это условие уже выполняется, то больше кубиков не кладут, если же нет, то кладут третий слой так, чтобы чтобы для всех кубиков второго слоя выполнялось это условие, и так далее. Существует ли такое расположение кубиков первого слоя, что этот процесс никогда не кончится?

Прислать комментарий     Решение

Задача 78574  (#5)

Темы:   [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
[ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 5
Классы: 9,10

Найти геометрическое место центров равносторонних треугольников, описанных около данного произвольного треугольника.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 [Всего задач: 5]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .