ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 39]      



Задача 108032

Темы:   [ Перегруппировка площадей ]
[ Перенос помогает решить задачу ]
[ Площадь четырехугольника ]
[ Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух сторон ]
[ Четырехугольник (неравенства) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Пусть M – внутренняя точка прямоугольника ABCD, а S – его площадь. Докажите, что S ≤ AM·CM + BM·DM.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108034

Темы:   [ Вспомогательная окружность ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Внутри треугольника ABC взята такая точка M, что  ∠BMC = 90° + ½ ∠BAC  и прямая AM содержит центр O описанной окружности треугольника BMC. Докажите, что точка M – центр вписанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 97983

Темы:   [ Разложение в произведение транспозиций и циклов ]
[ Полуинварианты ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Фольклор

Числа  1, 2, 3, ..., n  записываются в некотором порядке:  a1, a2, a3, ..., an.  Берётся сумма  S = a1/1 + a2/2 + ... + an/n.  Найдите такое n, чтобы среди таких сумм (при всевозможных перестановках  a1, a2, a3, ..., an)  встретились все целые числа от n до  n + 100.

 
Прислать комментарий     Решение

Задача 97994

Темы:   [ Обход графов ]
[ Классическая комбинаторика (прочее) ]
[ Подсчет двумя способами ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

В стране 1988 городов и 4000 дорог.
Докажите, что можно указать кольцевой маршрут, проходящий не более, чем через 20 городов (каждая дорога соединяет два города).

Прислать комментарий     Решение

Задача 98004

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Деление с остатком ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Докажите, что если K чётно, то числа от 1 до  K – 1  можно выписать в таком порядке, что сумма никаких нескольких подряд стоящих чисел не будет делиться на K.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 39]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .