ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 [Всего задач: 39]      



Задача 98005

Темы:   [ Правильные многоугольники ]
[ Метод усреднения ]
[ Подсчет двумя способами ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

Из центра окружности выходят N векторов, концы которых делят её на N равных дуг. Некоторые векторы синие, остальные – красные. Подсчитаем сумму углов "красный вектор – синий вектор" (каждый угол вычисляется от красного вектора к синему против часовой стрелки) и разделим её на общее число всех таких углов. Докажите, что полученная величина "среднего угла" равна 180°.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98006

Темы:   [ Таблицы и турниры (прочее) ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9

а) Докажите, что если в 3n клетках таблицы 2n×2n расставлены 3n звёздочек, то можно вычеркнуть n столбцов и n строк так, что все звёздочки будут вычеркнуты.
б) Докажите, что в таблице 2n×2n можно расставить  3n + 1  звёздочку так, что при вычеркивании любых n строк и любых n столбцов остаётся невычеркнутой хотя бы одна звёздочка.

Прислать комментарий     Решение

Задача 97986

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Арифметические действия. Числовые тождества ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Деление с остатком ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Существует ли такое натуральное число M, что никакое натуральное число, десятичная запись которого состоит лишь из нулей и не более чем 1988 единиц, не делится на M?

Прислать комментарий     Решение

Задача 98016

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Отношение порядка ]
[ Целочисленные решетки (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Дан 101 прямоугольник с целыми сторонами, не превышающими 100.
Докажите, что среди них найдутся три прямоугольника A, B, C, которые можно поместить друг в друга (так что  ABC).

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 [Всего задач: 39]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .