ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



Задача 97981  (#1)

Темы:   [ Подсчет двумя способами ]
[ Четность и нечетность ]
[ Куб ]
[ Инварианты ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9,10

В каждой вершине куба стоит число +1 или –1. В центре каждой грани куба поставлено число, равное произведению чисел в вершинах этой грани.
Может ли сумма получившихся 14 чисел оказаться равной 0?

Прислать комментарий     Решение

Задача 108031  (#2)

Темы:   [ Вспомогательная окружность ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
[ Угол между касательной и хордой ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Внутри квадрата ABCD выбрана такая точка M, что  ∠MAC = ∠MCD = α.  Найдите величину угла ABM.

Прислать комментарий     Решение

Задача 97983  (#3)

Темы:   [ Разложение в произведение транспозиций и циклов ]
[ Полуинварианты ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Фольклор

Числа  1, 2, 3, ..., n  записываются в некотором порядке:  a1, a2, a3, ..., an.  Берётся сумма  S = a1/1 + a2/2 + ... + an/n.  Найдите такое n, чтобы среди таких сумм (при всевозможных перестановках  a1, a2, a3, ..., an)  встретились все целые числа от n до  n + 100.

 
Прислать комментарий     Решение

Задача 97984  (#4)

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Фольклор

а) Даны две одинаковые шестерёнки с 14 зубьями каждая. Их наложили друг на друга так, что зубья совпали (так что проекция на плоскость выглядит как одна шестерёнка). После этого четыре пары совпадающих зубьев выпилили. Всегда ли можно повернуть эти шестерёнки друг относительно друга так, чтобы проекция на плоскость выглядела как одна целая шестерёнка? (Шестерёнки можно поворачивать, но нельзя переворачивать.)

б) Тот же вопрос про две шестерёнки с 13 зубьями, из которых выпилили по 4 зуба.

Прислать комментарий     Решение

Задача 97985  (#5)

Темы:   [ Перестройки ]
[ Выпуклые многоугольники ]
[ Разные задачи на разрезания ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Выпуклый n-угольник разрезан непересекающимися диагоналями на треугольники. Разрешается проделывать следующее преобразование (перестройку): взяв пару треугольников ABD и BCD с общей стороной, заменить их на треугольники ABC и ACD. Пусть P(n) – наименьшее число перестроек, за которое можно перевести каждое разбиение в любое. Докажите, что
  а)  P(n) ≥ n – 3;
  б)  P(n) ≤ 2n – 7;
  в)  P(n) ≤ 2n – 10  при  n ≥ 13.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .