ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



Задача 98127  (#1)

Тема:   [ Линейные неравенства и системы неравенств ]
Сложность: 3-
Классы: 7,8,9

Автор: Шлейфер Р.

n чисел  (n > 1)  называются близкими, если каждое из них меньше чем сумма всех чисел, делённая на  n – 1.  Пусть  a, b, c, ...   – n близких чисел, S – их сумма. Докажите, что
  а) все они положительны;
  б)  a + b > c;
  в)  a + b > S/n–1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98128  (#2)

Темы:   [ Прямоугольные треугольники (прочее) ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Паровян А.

Пусть в прямоугольном треугольнике AB и AC – катеты,  AC > AB.  На AC выбрана точка E, а на BC – точка D так, что  AB = AE = BD.
Докажите, что треугольник ADE будет прямоугольным в том и только в том случае, если стороны треугольника ABC относятся как  3 : 4 : 5.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98129  (#3)

Темы:   [ Доказательство тождеств. Преобразования выражений ]
[ Иррациональные неравенства ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Пусть m, n и k – натуральные числа, причём  m > n.  Какое из двух чисел больше:

    или  

(В каждом выражении k знаков квадратного корня, m и n чередуются.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 98130  (#4)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Соображения непрерывности ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9

Точка P лежит на описанной окружности треугольника ABC. Построим треугольник A1B1C1, стороны которого параллельны отрезкам PA, PB, PC
(B1C1 || PA,  C1A1 || PB,  A1B1 || PC). Через точки A1, B1, C1 проведены прямые, параллельные соответственно BC, CA и AB. Докажите, что эти прямые пересекаются в точке, лежащей на описанной окружности треугольника A1B1C1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98131  (#5)

Темы:   [ Взвешивания ]
[ Отношение порядка ]
[ Метод спуска ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Имеется 50 серебряных монет, упорядоченных по весу, и 51 золотая монета, они также упорядочены по весу. Известно, что все монеты по весу различны. В нашем распоряжении – двухчашечные весы, позволяющие про каждые две монеты установить, какая тяжелее. Как за семь взвешиваний найти монету, занимающую среди всех монет 51-е место?

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .