ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



Задача 107996  (#1)

Темы:   [ Замощения костями домино и плитками ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Геометрическая прогрессия ]
[ Индукция в геометрии ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Единичный квадрат разбит на конечное число квадратиков (размеры которых могут различаться). Может ли сумма периметров квадратиков, пересекающихся с главной диагональю, быть больше 1993? (Если квадратик пересекается с диагональю по одной точке, это тоже считается пересечением.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 107994  (#2)

Темы:   [ Наибольшая или наименьшая длина ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Теорема косинусов ]
[ Теорема синусов ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

На стороне AB треугольника ABC внешним образом построен квадрат с центром O. Точки M и N   середины сторон AC и BC соответственно, а длины этих сторон равны соответственно a и b. Найти максимум суммы  OM + ON,  когда угол ACB меняется.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98180  (#3)

Темы:   [ Задачи на проценты и отношения ]
[ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Назаров Ф.

Несколько человек делят наследство. Наследник считается бедным, если ему досталось меньше 99 рублей, богатым, – если ему досталось больше 10000 рублей. Величина наследства и число людей таковы, что при любом способе дележа у богатых окажется не меньше денег, чем у бедных. Докажите, что при любом способе дележа у богатых не меньше чем в 100 раз больше денег, чем у бедных.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98181  (#4)

Темы:   [ Последовательности (прочее) ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

На доску последовательно записываются натуральные числа. На n-м шаге (когда написаны числа  a1, a2, ..., an–1)  пишется любое число, которое нельзя представить в виде суммы  a1k1 + a2k2 + ... + an–1kn–1,  где ki – целые неотрицательные числа (на a1 никаких ограничений не накладывается). Доказать, что процесс написания чисел не может быть бесконечным.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98182  (#5)

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Итерации ]
[ Разрывы функций ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Существует ли кусочно-линейная функция f, определённая на отрезке  [–1, 1]  (включая концы), для которой  f(f(x))= – x  при всех x?
(Функция называется кусочно-линейной, если её график есть объединение конечного числа точек и интервалов прямой; она может быть разрывной.)
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .