ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 [Всего задач: 45]      



Задача 98579

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Существуют ли такие иррациональные числа a и b, что  a > 1,  b > 1,  и  [am]  отлично от  [bn]  при любых натуральных числах m и n?

Прислать комментарий     Решение

Задача 105131

Темы:   [ Разные задачи на разрезания ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Выпуклые многоугольники ]
[ Индукция в геометрии ]
[ Принцип Дирихле (углы и длины) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Остроугольный треугольник разрезали прямолинейным разрезом на две (не обязательно треугольные) части, затем одну из этих частей – опять на две части, и так далее: на каждом шаге выбирали любую из уже имеющихся частей и разрезали её (по прямой) на две. Через несколько шагов оказалось, что исходный треугольник распался на несколько треугольников. Могут ли все они быть тупоугольными?

Прислать комментарий     Решение

Задача 105141

Темы:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Геометрическая прогрессия ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

В возрастающей бесконечной последовательности натуральных чисел каждое число, начиная с 2002-го, является делителем суммы всех предыдущих чисел. Докажите, что в этой последовательности найдётся некоторое число, начиная с которого каждое число равно сумме всех предыдущих.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98572

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

С цепочкой камней домино, сложенной по обычным правилам, разрешается проделывать такую операцию: выбирается кусок из нескольких подряд доминошек с одинаковыми очками на концах куска, переворачивается целиком и вставляется на то же место. Докажите, что если у двух цепочек, сложенных из двух одинаковых комплектов домино, значения очков на концах совпадают, то разрешёнными операциями можно сделать порядок следования доминошек во второй цепочке таким же, как в первой.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98555

Темы:   [ Параллельный перенос (прочее) ]
[ Геометрия на клетчатой бумаге ]
[ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
[ Экстремальные свойства треугольника (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

На координатной плоскости расположили треугольник так, что его сдвиги на векторы с целочисленными координатами не перекрываются.
  а) Может ли площадь такого треугольника быть больше ½?
  б) Найдите наибольшую возможную площадь такого треугольника.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 [Всего задач: 45]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .