ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



Задача 98549  (#1)

Темы:   [ Неопределено ]
[ Пересекающиеся окружности ]
[ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

На плоскости даны три красные точки, три синие точки и ещё точка O. Известно, что точка O лежит и внутри треугольника с красными вершинами, и внутри треугольника с синими вершинами, причём расстояние от O до любой красной точки меньше расстояния от O до любой синей точки. Могут ли все красные и все синие точки лежать на одной и той же окружности?

Прислать комментарий     Решение

Задача 98550  (#2)

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Существуют ли такие натуральные числа  a1 < a2 < a3 < ... < a100,  что  НОК(a1, a2) > НОК(a2, a3) > ... > НОК(a99, a100)?

Прислать комментарий     Решение

Задача 98551  (#3)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Клетки шахматной доски занумерованы числами от 1 до 64 так, что соседние номера стоят в соседних (по стороне) клетках.
Какова наименьшая возможная сумма номеров на диагонали?

Прислать комментарий     Решение

Задача 98552  (#4)

Темы:   [ Четырехугольники (прочее) ]
[ Выпуклые многоугольники ]
[ Процессы и операции ]
[ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ]
[ Инварианты ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Пусть F1, F2, F3, ... – последовательность выпуклых четырёхугольников, где Fk+1  (при k = 1, 2, 3, ...)  получается так: Fk разрезают по диагонали, одну из частей переворачивают и склеивают по линии разреза с другой частью. Какое наибольшее количество различных четырёхугольников может содержать эта последовательность? (Различными считаются многоугольники, которые нельзя совместить движением.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 98553  (#5)

Темы:   [ Арифметическая прогрессия ]
[ Десятичная система счисления ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Все члены бесконечной арифметической прогрессии – натуральные числа. В каждом члене удалось подчеркнуть одну или несколько подряд идущих цифр так, что в первом члене оказалась подчёркнута цифра 1, во втором – 2,..., в 23-м – цифры 2 и 3 подряд, и так далее (для любого натурального n в n-м члене подчёркнутые цифры образовали число n). Докажите, что разность прогрессии – это степень числа 10.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .