Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98620  (#1)

Темы:   [ Сфера, вписанная в тетраэдр ] [ Сфера, описанная около тетраэдра ] [ Геометрические неравенства (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Дана треугольная пирамида ABCD. В ней R – радиус описанной сферы, r – радиус вписанной сферы, a – длина наибольшего ребра, h – длина наименьшей высоты (на какую-то грань). Докажите, что  ^R/_r > ^a/_h.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98621  (#2)

Темы:   [ Итерации ] [ Многочлены (прочее) ] [ Предел функции ] [ Монотонность и ограниченность ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Дан многочлен P(x) с действительными коэффициентами. Бесконечная последовательность различных натуральных чисел a₁, a₂, a₃, ... такова, что
P(a₁) = 0,  P(a₂) = a₁,  P(a₃) = a₂,  и т.д. Какую степень может иметь P(x)?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98622  (#3)

Темы:   [ Куб ] [ Наглядная геометрия в пространстве ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Можно ли поверхность куба оклеить без пропусков и наложений тремя треугольниками?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108121  (#4)

Темы:   [ Вспомогательная окружность ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

В окружность вписан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB. Пусть K – середина дуги BC, не содержащей точку A, N – середина отрезка AC, M – точка пересечения луча KN с окружностью. В точках A и C проведены касательные к окружности, которые пересекаются в точке E. Докажите, что
∠EMK = 90°.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105149  (#5)

Темы:   [ Теория игр (прочее) ] [ Деление с остатком ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Арифметическая прогрессия ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Боря задумал целое число, большее 100. Кира называет целое число, большее 1. Если Борино число делится на это число, Кира выиграла, иначе Боря вычитает из своего числа названное, и Кира называет следующее число. Ей запрещается повторять числа, названные ранее. Если Борино число станет отрицательным – Кира проигрывает. Есть ли у неё выигрышная стратегия?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями