Страница:
<< 1 2 3 4
5 >> [Всего задач: 21]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Остроугольный треугольник разрезали прямолинейным разрезом на две (не обязательно треугольные) части, затем одну из этих частей – опять на две части, и так далее: на каждом шаге выбирали любую из уже имеющихся частей и разрезали её (по прямой) на две. Через несколько шагов оказалось, что исходный треугольник распался на несколько треугольников. Могут ли все они быть тупоугольными?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
В возрастающей бесконечной последовательности натуральных чисел каждое число,
начиная с 2002-го, является делителем суммы всех предыдущих чисел. Докажите, что
в этой последовательности найдётся некоторое число, начиная с которого каждое число равно сумме всех предыдущих.
В треугольнике
ABC медианы
AD и
BE пересекаются в точке
M .
Докажите, что если угол
AMB а) прямой; б) острый, то
AC+BC >3
AB .
Биссектрисы углов
A и
C треугольника
ABC пересекают
описанную около него окружность в точках
E и
D соответственно.
Отрезок
DE пересекает стороны
AB и
BC в точках
F и
G .
Пусть
I – точка пересечения биссектрис треугольника
ABC .
Докажите, что четырёхугольник
BFIG – ромб.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
В городе Удоеве выборы мэра проходят следующим
образом. Если в очередном туре голосования никто из кандидатов не набрал больше
половины голосов, то проводится следующий тур с участием всех кандидатов, кроме
последнего по числу голосов. (Никогда два кандидата не набирают голосов поровну;
если кандидат набрал больше половины голосов, то он становится мэром и выборы
заканчиваются.) Каждый избиратель в каждом туре голосует за одного из
кандидатов. Если это кандидат вышел в следующий тур, то избиратель снова
голосует за него. Если же кандидат выбыл, то все его избиратели голосуют за
одного и того же кандидата из числа оставшихся.
На очередных выборах
баллотировалось 2002 кандидата. Мэром стал Остап Бендер, занявший в первом туре
k-е место по числу голосов. Определите наибольшее возможное значение
k, если Остап Бендер был избран
а) в 1002-м туре;
б) в 1001-м
туре.
Страница:
<< 1 2 3 4
5 >> [Всего задач: 21]
Фильтр
